Страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

376 Вычислите двумя способами — с помощью формулы (1) и формулы (2) — сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии:

а) 1; 5; 9; ...

б) -50; -35; -20; ...;

в) 8; 3; -2; ... .

Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии будем использовать две формулы:

Формула (1) — через первый и n-й члены: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Формула (2) — через первый член и разность: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

В условии задачи требуется найти сумму первых двадцати членов, поэтому $n=20$.

а) 1; 5; 9; ...

Для данной арифметической прогрессии первый член $a_1 = 1$, а разность $d = a_2 - a_1 = 5 - 1 = 4$.

1 способ (с помощью формулы (1)):
Сначала найдем 20-й член прогрессии по формуле $a_n = a_1 + d(n-1)$:
$a_{20} = 1 + 4 \cdot (20-1) = 1 + 4 \cdot 19 = 1 + 76 = 77$.
Теперь вычислим сумму первых 20 членов:
$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{1 + 77}{2} \cdot 20 = \frac{78}{2} \cdot 20 = 39 \cdot 20 = 780$.

2 способ (с помощью формулы (2)):
Подставим известные значения $a_1=1$ и $d=4$ в формулу:
$S_{20} = \frac{2a_1 + d(20-1)}{2} \cdot 20 = \frac{2 \cdot 1 + 4 \cdot 19}{2} \cdot 20 = \frac{2 + 76}{2} \cdot 20 = \frac{78}{2} \cdot 20 = 39 \cdot 20 = 780$.

Ответ: 780.

б) -50; -35; -20; ...

Для данной арифметической прогрессии первый член $a_1 = -50$, а разность $d = a_2 - a_1 = -35 - (-50) = -35 + 50 = 15$.

1 способ (с помощью формулы (1)):
Сначала найдем 20-й член прогрессии:
$a_{20} = -50 + 15 \cdot (20-1) = -50 + 15 \cdot 19 = -50 + 285 = 235$.
Теперь вычислим сумму:
$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{-50 + 235}{2} \cdot 20 = \frac{185}{2} \cdot 20 = 185 \cdot 10 = 1850$.

2 способ (с помощью формулы (2)):
Подставим известные значения $a_1=-50$ и $d=15$ в формулу:
$S_{20} = \frac{2 \cdot (-50) + 15 \cdot (20-1)}{2} \cdot 20 = \frac{-100 + 15 \cdot 19}{2} \cdot 20 = \frac{-100 + 285}{2} \cdot 20 = \frac{185}{2} \cdot 20 = 185 \cdot 10 = 1850$.

Ответ: 1850.

в) 8; 3; -2; ...

Для данной арифметической прогрессии первый член $a_1 = 8$, а разность $d = a_2 - a_1 = 3 - 8 = -5$.

1 способ (с помощью формулы (1)):
Сначала найдем 20-й член прогрессии:
$a_{20} = 8 + (-5) \cdot (20-1) = 8 - 5 \cdot 19 = 8 - 95 = -87$.
Теперь вычислим сумму:
$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{8 + (-87)}{2} \cdot 20 = \frac{-79}{2} \cdot 20 = -79 \cdot 10 = -790$.

2 способ (с помощью формулы (2)):
Подставим известные значения $a_1=8$ и $d=-5$ в формулу:
$S_{20} = \frac{2 \cdot 8 + (-5) \cdot (20-1)}{2} \cdot 20 = \frac{16 - 5 \cdot 19}{2} \cdot 20 = \frac{16 - 95}{2} \cdot 20 = \frac{-79}{2} \cdot 20 = -79 \cdot 10 = -790$.

Ответ: -790.

377 Последовательность $(x_n)$ — арифметическая прогрессия. Найдите, пользуясь любой из двух формул:

а) $S_{10}$, если $x_1 = 38$, $d = -4$;

б) $S_{64}$, если $x_1 = -75$, $d = 3$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(x_n)$ можно воспользоваться одной из двух формул. Так как в условии задачи для каждого случая дан первый член $x_1$, разность $d$ и подразумевается количество членов $n$, удобнее всего использовать следующую формулу:

$$ S_n = \frac{2x_1 + d(n-1)}{2} \cdot n $$

а)

Требуется найти сумму первых 10 членов прогрессии, $S_{10}$. По условию, первый член $x_1 = 38$, а разность $d = -4$. Количество членов $n = 10$.

Подставим эти значения в формулу:

$$ S_{10} = \frac{2 \cdot 38 + (-4)(10-1)}{2} \cdot 10 $$

Теперь выполним вычисления:

$$ S_{10} = \frac{76 - 4 \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{76 - 36}{2} \cdot 10 = \frac{40}{2} \cdot 10 = 20 \cdot 10 = 200 $$

Ответ: 200.

б)

Требуется найти сумму первых 64 членов прогрессии, $S_{64}$. По условию, первый член $x_1 = -75$, а разность $d = 3$. Количество членов $n = 64$.

Подставим эти значения в формулу:

$$ S_{64} = \frac{2 \cdot (-75) + 3(64-1)}{2} \cdot 64 $$

Теперь выполним вычисления:

$$ S_{64} = \frac{-150 + 3 \cdot 63}{2} \cdot 64 = \frac{-150 + 189}{2} \cdot 64 = \frac{39}{2} \cdot 64 = 39 \cdot 32 = 1248 $$

Ответ: 1248.

378 Найдите двумя способами сумму:

а) первых ста натуральных чётных чисел;

б) первых семидесяти натуральных нечётных чисел.

а)

Требуется найти сумму первых ста натуральных чётных чисел. Это последовательность: 2, 4, 6, ..., 200.

Способ 1: Использование формулы суммы арифметической прогрессии.

Последовательность натуральных чётных чисел представляет собой арифметическую прогрессию. В нашем случае:

• Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
• Количество членов $n = 100$.
• Сотый член прогрессии $a_{100} = 2 \times 100 = 200$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$

Подставив наши значения, получаем:

$S_{100} = \frac{2 + 200}{2} \times 100 = \frac{202}{2} \times 100 = 101 \times 100 = 10100$.

Способ 2: Вынесение общего множителя за скобки.

Запишем искомую сумму:

$S = 2 + 4 + 6 + \dots + 200$

У каждого слагаемого есть общий множитель 2, который можно вынести за скобки:

$S = 2(1 + 2 + 3 + \dots + 100)$

В скобках получилась сумма первых 100 натуральных чисел. Для её вычисления существует формула $\frac{k(k+1)}{2}$, где $k$ — количество чисел.

В нашем случае $k=100$, поэтому сумма в скобках равна:

$\frac{100(100+1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$.

Теперь умножим результат на вынесенный множитель 2:

$S = 2 \times 5050 = 10100$.

Ответ: 10100.

б)

Требуется найти сумму первых семидесяти натуральных нечётных чисел. Это последовательность: 1, 3, 5, ...

Способ 1: Использование формулы суммы арифметической прогрессии.

Последовательность натуральных нечётных чисел также является арифметической прогрессией. В нашем случае:

• Первый член прогрессии $a_1 = 1$.
• Количество членов $n = 70$.
• Семидесятый член прогрессии можно найти по формуле $n$-го нечётного числа $2n-1$: $a_{70} = 2 \times 70 - 1 = 139$.

Воспользуемся той же формулой суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$

Подставив наши значения, получаем:

$S_{70} = \frac{1 + 139}{2} \times 70 = \frac{140}{2} \times 70 = 70 \times 70 = 4900$.

Способ 2: Использование свойства суммы первых нечётных чисел.

Существует свойство, согласно которому сумма первых $n$ натуральных нечётных чисел равна квадрату их количества, то есть $n^2$.

$S_n = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$

В нашей задаче нужно найти сумму первых 70 нечётных чисел, значит $n=70$.

Используя это свойство, получаем:

$S_{70} = 70^2 = 4900$.

Ответ: 4900.

379. Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена $a_n = 4n + 2$.

Найдите:

а) $S_{10}$;

б) $S_{20}$;

в) $S_n$.

Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена $a_n = 4n + 2$. Для нахождения суммы первых $n$ членов ($S_n$) используется формула $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$.

Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$ в исходную формулу:
$a_1 = 4 \cdot 1 + 2 = 6$.

а) Чтобы найти $S_{10}$, сначала вычислим 10-й член прогрессии $a_{10}$:
$a_{10} = 4 \cdot 10 + 2 = 42$.
Теперь, используя значения $a_1=6$ и $a_{10}=42$, вычислим сумму:
$S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2} = \frac{(6 + 42) \cdot 10}{2} = \frac{48 \cdot 10}{2} = 24 \cdot 10 = 240$.
Ответ: $240$.

б) Чтобы найти $S_{20}$, сначала вычислим 20-й член прогрессии $a_{20}$:
$a_{20} = 4 \cdot 20 + 2 = 82$.
Теперь, используя значения $a_1=6$ и $a_{20}=82$, вычислим сумму:
$S_{20} = \frac{(a_1 + a_{20}) \cdot 20}{2} = \frac{(6 + 82) \cdot 20}{2} = \frac{88 \cdot 20}{2} = 44 \cdot 20 = 880$.
Ответ: $880$.

в) Чтобы найти общую формулу для $S_n$, подставим известные выражения для $a_1=6$ и $a_n = 4n + 2$ в формулу суммы и упростим:
$S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} = \frac{(6 + (4n + 2))n}{2} = \frac{(4n + 8)n}{2} = \frac{2(2n + 4)n}{2} = (2n + 4)n = 2n^2 + 4n$.
Ответ: $S_n = 2n^2 + 4n$.

380 Арифметическая прогрессия $(c_n)$ задана рекуррентным способом: $c_1 = 1,2$, $c_{n+1} = c_n + 1,5$. Найдите:

а) $S_{15}$

б) $S_{40}$

в) $S_n$

Данная арифметическая прогрессия $(c_n)$ задана рекуррентным способом.
Из условия нам известны первый член прогрессии $c_1 = 1,2$ и рекуррентная формула $c_{n+1} = c_n + 1,5$.
Из рекуррентной формулы следует, что разность арифметической прогрессии $d$ равна $1,5$, так как $d = c_{n+1} - c_n = 1,5$.
Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2c_1 + d(n-1)}{2}n$

a)
Требуется найти $S_{15}$. Для этого подставим в формулу суммы значения $n=15$, $c_1=1,2$ и $d=1,5$:
$S_{15} = \frac{2 \cdot 1,2 + 1,5(15-1)}{2} \cdot 15$
Выполним вычисления:
$S_{15} = \frac{2,4 + 1,5 \cdot 14}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{2,4 + 21}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{23,4}{2} \cdot 15$
$S_{15} = 11,7 \cdot 15 = 175,5$
Ответ: $175,5$.

б)
Требуется найти $S_{40}$. Подставим в формулу суммы значения $n=40$, $c_1=1,2$ и $d=1,5$:
$S_{40} = \frac{2 \cdot 1,2 + 1,5(40-1)}{2} \cdot 40$
Выполним вычисления, сократив дробь на 2:
$S_{40} = (2 \cdot 1,2 + 1,5 \cdot 39) \cdot \frac{40}{2}$
$S_{40} = (2,4 + 58,5) \cdot 20$
$S_{40} = 60,9 \cdot 20 = 1218$
Ответ: $1218$.

в)
Требуется найти формулу для $S_n$. Для этого подставим в общую формулу суммы известные для данной прогрессии значения $c_1=1,2$ и $d=1,5$:
$S_n = \frac{2 \cdot 1,2 + 1,5(n-1)}{2}n$
Упростим выражение в числителе:
$S_n = \frac{2,4 + 1,5n - 1,5}{2}n$
$S_n = \frac{1,5n + 0,9}{2}n$
Теперь можно раскрыть скобки и/или разделить на 2, чтобы получить конечную формулу:
$S_n = (0,75n + 0,45)n = 0,75n^2 + 0,45n$
Ответ: $S_n = 0,75n^2 + 0,45n$.

381 1) Найдите сумму первых шестидесяти натуральных чисел.

2) Определите, сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получить 210.

1)

Чтобы найти сумму первых шестидесяти натуральных чисел (от 1 до 60), мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии. Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, ... является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 1$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В нашем случае, количество членов $n = 60$, первый член $a_1 = 1$, а последний член $a_{60} = 60$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_{60} = \frac{1 + 60}{2} \cdot 60 = \frac{61}{2} \cdot 60 = 61 \cdot 30 = 1830$

Таким образом, сумма первых шестидесяти натуральных чисел равна 1830.

Ответ: 1830

2)

Нам нужно определить, сколько последовательных натуральных чисел $n$, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получить сумму 210. Это также задача на нахождение числа членов арифметической прогрессии по её сумме.

Известно, что сумма $S_n = 210$, первый член $a_1 = 1$, а n-й член $a_n = n$.

Используем ту же формулу суммы:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Подставим известные значения:

$210 = \frac{n(1 + n)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$420 = n(n + 1)$

$n^2 + n = 420$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$n^2 + n - 420 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Воспользуемся формулой с дискриминантом $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1681} = 41$.

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 41}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 41}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Так как количество чисел $n$ должно быть натуральным числом, отрицательный корень $n_2 = -21$ не подходит.

Следовательно, нужно сложить 20 последовательных натуральных чисел.

Ответ: 20

382 Треугольные числа изображают в виде треугольников, составленных из шаров (рис. 4.7). Определите:

1) сколько шаров в двадцать пятом треугольнике;

2) в каком по счёту треугольнике 55 шаров.

Рис. 4.7

$1$

$1 + 2$

$1 + 2 + 3$

$1 + 2 + 3 + 4$

$1 + 2 + 3 + 4 + 5$

1) Количество шаров в n-ом треугольнике (так называемое n-ое треугольное число) равно сумме натуральных чисел от 1 до n. Эту сумму можно вычислить по формуле суммы арифметической прогрессии:
$T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
Чтобы найти, сколько шаров в двадцать пятом треугольнике, необходимо вычислить $T_{25}$, то есть подставить $n=25$ в формулу:
$T_{25} = \frac{25(25+1)}{2} = \frac{25 \times 26}{2} = 25 \times 13 = 325$
Ответ: 325 шаров.

2) В этом случае нам известно количество шаров, $T_n = 55$, и требуется найти номер треугольника n. Воспользуемся той же формулой:
$55 = \frac{n(n+1)}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
$110 = n(n+1)$
Нам нужно найти такое натуральное число n, что его произведение на следующее за ним число (n+1) равно 110. Можно решить это уравнение подбором. Очевидно, что $10 \times 11 = 110$.
Следовательно, $n=10$.
В качестве альтернативы можно решить квадратное уравнение:
$n^2 + n - 110 = 0$
Корни этого уравнения $n_1 = 10$ и $n_2 = -11$. Так как номер треугольника должен быть положительным числом, нам подходит только корень $n=10$.
Ответ: в десятом.

383 Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = 10 - 4n$.

Составьте формулу для вычисления суммы первых $n$ членов этой прогрессии.

Пользуясь этой формулой:

1) найдите сумму первых тридцати членов прогрессии $(a_n)$;

2) выясните, сколько членов прогрессии $(a_n)$, начиная с первого, сложили, если сумма оказалась равной -120.

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, заданная формулой $n$-го члена $a_n = 10 - 4n$.

Для начала составим формулу для вычисления суммы первых $n$ членов этой прогрессии, $S_n$. Классическая формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит так:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Чтобы воспользоваться этой формулой, нам нужно найти первый член прогрессии $a_1$. Подставим $n=1$ в заданную формулу:

$a_1 = 10 - 4 \cdot 1 = 10 - 4 = 6$

Теперь подставим найденное значение $a_1=6$ и данное выражение для $a_n$ в формулу суммы:

$S_n = \frac{6 + (10 - 4n)}{2} \cdot n$

Упростим это выражение:

$S_n = \frac{16 - 4n}{2} \cdot n$

$S_n = (8 - 2n) \cdot n$

$S_n = 8n - 2n^2$

Таким образом, формула для вычисления суммы первых $n$ членов данной прогрессии: $S_n = 8n - 2n^2$.

1) найдите сумму первых тридцати членов прогрессии $(a_n)$;

Для нахождения суммы первых тридцати членов прогрессии ($S_{30}$) воспользуемся выведенной формулой, подставив в нее $n=30$:

$S_{30} = 8 \cdot 30 - 2 \cdot (30)^2$

$S_{30} = 240 - 2 \cdot 900$

$S_{30} = 240 - 1800$

$S_{30} = -1560$

Ответ: -1560.

2) выясните, сколько членов прогрессии $(a_n)$, начиная с первого, сложили, если сумма оказалась равной –120.

В этом задании нам дана сумма $S_n = -120$, и требуется найти количество членов $n$. Подставим известное значение суммы в нашу формулу:

$-120 = 8n - 2n^2$

Мы получили квадратное уравнение относительно $n$. Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы привести его к стандартному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$2n^2 - 8n - 120 = 0$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 2:

$n^2 - 4n - 60 = 0$

Решим это уравнение, например, через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку $n$ обозначает количество членов прогрессии, оно должно быть натуральным (целым положительным) числом. Корень $n_2 = -6$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $n_1 = 10$.

Ответ: 10.

384 Найдите сумму:

а) натуральных чисел от 45 до 90;

б) всех трёхзначных чисел;

в) чётных чисел от 30 до 98;

г) нечётных чисел от 15 до 85.

а) натуральных чисел от 45 до 90;

Для нахождения суммы натуральных чисел от 45 до 90 мы воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии. Данная последовательность чисел (45, 46, 47, ..., 90) является арифметической прогрессией, так как каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же величину (разность прогрессии).
Первый член прогрессии $a_1 = 45$.
Последний член прогрессии $a_n = 90$.
Разность прогрессии $d = 1$.
Сначала найдем количество членов в этой прогрессии ($n$). Поскольку числа идут подряд, количество членов можно найти как $n = \text{последнее число} - \text{первое число} + 1$.
$n = 90 - 45 + 1 = 46$.
Теперь воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения:
$S_{46} = \frac{45 + 90}{2} \cdot 46 = \frac{135}{2} \cdot 46 = 135 \cdot 23 = 3105$.
Ответ: 3105.

б) всех трёхзначных чисел;

Трёхзначные числа — это натуральные числа от 100 до 999 включительно. Эта последовательность также является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $a_1 = 100$.
Последний член прогрессии $a_n = 999$.
Разность прогрессии $d = 1$.
Найдем количество трёхзначных чисел:
$n = 999 - 100 + 1 = 900$.
Вычислим сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_{900} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = \frac{1099}{2} \cdot 900 = 1099 \cdot 450$.
Выполним умножение: $1099 \cdot 450 = 494550$.
Ответ: 494550.

в) чётных чисел от 30 до 98;

Последовательность чётных чисел от 30 до 98 (30, 32, 34, ..., 98) является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя последовательными членами постоянна.
Первый член прогрессии $a_1 = 30$.
Последний член прогрессии $a_n = 98$.
Разность прогрессии $d = 2$.
Найдем количество членов прогрессии по формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$:
$n = \frac{98 - 30}{2} + 1 = \frac{68}{2} + 1 = 34 + 1 = 35$.
Теперь вычислим сумму, используя формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{35} = \frac{30 + 98}{2} \cdot 35 = \frac{128}{2} \cdot 35 = 64 \cdot 35 = 2240$.
Ответ: 2240.

г) нечётных чисел от 15 до 85.

Последовательность нечётных чисел от 15 до 85 (15, 17, 19, ..., 85) также является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $a_1 = 15$.
Последний член прогрессии $a_n = 85$.
Разность прогрессии $d = 2$.
Найдем количество членов прогрессии по формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$:
$n = \frac{85 - 15}{2} + 1 = \frac{70}{2} + 1 = 35 + 1 = 36$.
Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{36} = \frac{15 + 85}{2} \cdot 36 = \frac{100}{2} \cdot 36 = 50 \cdot 36 = 1800$.
Ответ: 1800.