Страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

401 Последовательность $(y_n)$ – геометрическая прогрессия. Найдите:

а) $y_8$ и $y_{11}$, если $y_1 = \frac{1}{81}$ и $q = 3$;

б) $y_6$ и $y_9$, если $y_1 = 256$ и $q = \frac{1}{2}$;

в) $y_7$ и $y_{10}$, если $y_1 = \frac{3}{8}$ и $q = -2$;

г) $y_3$ и $y_6$, если $y_1 = -18$ и $q = -\frac{1}{3}$.

Для решения задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии: $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$, где $y_1$ – первый член прогрессии, $q$ – знаменатель прогрессии.

а) y₈ и y₁₁, если y₁ = 1/81 и q = 3;
Для нахождения восьмого члена прогрессии ($y_8$) подставим данные в формулу:
$y_8 = y_1 \cdot q^{8-1} = y_1 \cdot q^7 = \frac{1}{81} \cdot 3^7$.
Поскольку $81 = 3^4$, получаем:
$y_8 = \frac{1}{3^4} \cdot 3^7 = 3^{7-4} = 3^3 = 27$.
Аналогично находим одиннадцатый член ($y_{11}$):
$y_{11} = y_1 \cdot q^{11-1} = y_1 \cdot q^{10} = \frac{1}{81} \cdot 3^{10} = \frac{1}{3^4} \cdot 3^{10} = 3^{10-4} = 3^6 = 729$.
Ответ: $y_8 = 27$, $y_{11} = 729$.

б) y₆ и y₉, если y₁ = 256 и q = 1/2;
Находим шестой член прогрессии ($y_6$):
$y_6 = y_1 \cdot q^{6-1} = y_1 \cdot q^5 = 256 \cdot (\frac{1}{2})^5$.
Поскольку $256 = 2^8$, получаем:
$y_6 = 2^8 \cdot \frac{1}{2^5} = 2^{8-5} = 2^3 = 8$.
Находим девятый член ($y_9$):
$y_9 = y_1 \cdot q^{9-1} = y_1 \cdot q^8 = 256 \cdot (\frac{1}{2})^8 = 2^8 \cdot \frac{1}{2^8} = 1$.
Ответ: $y_6 = 8$, $y_9 = 1$.

в) y₇ и y₁₀, если y₁ = 3/8 и q = -2;
Находим седьмой член прогрессии ($y_7$):
$y_7 = y_1 \cdot q^{7-1} = y_1 \cdot q^6 = \frac{3}{8} \cdot (-2)^6$.
Поскольку $(-2)^6 = 64$, получаем:
$y_7 = \frac{3}{8} \cdot 64 = 3 \cdot \frac{64}{8} = 3 \cdot 8 = 24$.
Находим десятый член ($y_{10}$):
$y_{10} = y_1 \cdot q^{10-1} = y_1 \cdot q^9 = \frac{3}{8} \cdot (-2)^9 = \frac{3}{8} \cdot (-512) = 3 \cdot (-\frac{512}{8}) = 3 \cdot (-64) = -192$.
Ответ: $y_7 = 24$, $y_{10} = -192$.

г) y₃ и y₆, если y₁ = -18 и q = -1/3.
Находим третий член прогрессии ($y_3$):
$y_3 = y_1 \cdot q^{3-1} = y_1 \cdot q^2 = -18 \cdot (-\frac{1}{3})^2 = -18 \cdot \frac{1}{9} = -2$.
Находим шестой член ($y_6$):
$y_6 = y_1 \cdot q^{6-1} = y_1 \cdot q^5 = -18 \cdot (-\frac{1}{3})^5 = -18 \cdot (-\frac{1}{243}) = \frac{18}{243}$.
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
$y_6 = \frac{18 \div 9}{243 \div 9} = \frac{2}{27}$.
Ответ: $y_3 = -2$, $y_6 = \frac{2}{27}$.

402 а) В геометрической прогрессии $(b_n)$ $b_{10} = \frac{1}{243}$, $q = \frac{1}{3}$. Найдите $b_1$.

б) В геометрической прогрессии $(x_n)$ $x_{12} = 32$, $q = -2$. Найдите $x_1$.

а) Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер члена.
По условию задачи, дано $b_{10} = \frac{1}{243}$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$. Необходимо найти первый член прогрессии $b_1$.
Подставим известные значения в формулу для n-го члена при $n = 10$:
$b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1}$
$\frac{1}{243} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^9$
Чтобы найти $b_1$, выразим его из этого уравнения:
$b_1 = \frac{1}{243} \div \left(\frac{1}{3}\right)^9$
Представим числа в виде степеней тройки для упрощения вычислений: $243 = 3^5$.
$b_1 = \frac{1}{3^5} \div \frac{1}{3^9} = \frac{1}{3^5} \cdot \frac{3^9}{1} = \frac{3^9}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4 = 81$.
Ответ: $b_1 = 81$.

б) Аналогично, используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.
По условию, $x_{12} = 32$ и знаменатель $q = -2$. Необходимо найти первый член прогрессии $x_1$.
Подставим известные значения в формулу для n-го члена при $n = 12$:
$x_{12} = x_1 \cdot q^{12-1}$
$32 = x_1 \cdot (-2)^{11}$
Выразим $x_1$ из уравнения:
$x_1 = \frac{32}{(-2)^{11}}$
Вычислим $(-2)^{11}$. Так как степень нечетная, результат будет отрицательным: $(-2)^{11} = -2048$.
$x_1 = \frac{32}{-2048} = -\frac{32}{2048}$
Для упрощения дроби представим числа в виде степеней двойки: $32 = 2^5$ и $2048 = 2^{11}$.
$x_1 = -\frac{2^5}{2^{11}} = -2^{5-11} = -2^{-6} = -\frac{1}{2^6} = -\frac{1}{64}$.
Ответ: $x_1 = -\frac{1}{64}$.

403 а) Между числами $3$ и $27$ вставьте три числа так, чтобы вместе с данными они образовывали геометрическую прогрессию. Сколько решений имеет задача?

б) Между числами $0,2$ и $12,8$ вставьте два числа так, чтобы вместе с данными они образовывали геометрическую прогрессию. Сколько решений имеет задача?

а)

Пусть искомая геометрическая прогрессия $(b_n)$ состоит из 5 членов, где первый член $b_1 = 3$, а пятый член $b_5 = 27$. Нам необходимо найти второй, третий и четвертый члены прогрессии: $b_2, b_3, b_4$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ - знаменатель прогрессии.

Применим эту формулу для пятого члена прогрессии:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$

$27 = 3 \cdot q^4$

Чтобы найти $q$, разделим обе части уравнения на 3:

$q^4 = \frac{27}{3}$

$q^4 = 9$

Так как показатель степени четный (4), уравнение имеет два действительных корня:

$q_1 = \sqrt[4]{9} = \sqrt{3}$

$q_2 = -\sqrt[4]{9} = -\sqrt{3}$

Поскольку существует два возможных значения знаменателя $q$, задача имеет два решения.

Решение 1. При $q = \sqrt{3}$:

$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

$b_3 = b_2 \cdot q = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$

$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

Искомые числа: $3\sqrt{3}, 9, 9\sqrt{3}$. Прогрессия: 3; $3\sqrt{3}$; 9; $9\sqrt{3}$; 27.

Решение 2. При $q = -\sqrt{3}$:

$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot (-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3}$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-3\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) = 9$

$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot (-\sqrt{3}) = -9\sqrt{3}$

Искомые числа: $-3\sqrt{3}, 9, -9\sqrt{3}$. Прогрессия: 3; $-3\sqrt{3}$; 9; $-9\sqrt{3}$; 27.

Ответ: задача имеет два решения. Вставленные числа: $3\sqrt{3}, 9, 9\sqrt{3}$ или $-3\sqrt{3}, 9, -9\sqrt{3}$.

б)

В этом случае геометрическая прогрессия $(b_n)$ будет состоять из 4 членов. Первый член $b_1 = 0,2$, а четвертый член $b_4 = 12,8$. Нам нужно найти второй и третий члены прогрессии: $b_2, b_3$.

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для четвертого члена прогрессии:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$

$12,8 = 0,2 \cdot q^3$

Найдем $q^3$:

$q^3 = \frac{12,8}{0,2} = \frac{128}{2} = 64$

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$q = \sqrt[3]{64} = 4$

Так как показатель степени нечетный (3), уравнение имеет только один действительный корень. Следовательно, задача имеет одно решение.

Теперь найдем искомые числа:

$b_2 = b_1 \cdot q = 0,2 \cdot 4 = 0,8$

$b_3 = b_2 \cdot q = 0,8 \cdot 4 = 3,2$

Прогрессия: 0,2; 0,8; 3,2; 12,8.

Ответ: задача имеет одно решение. Вставленные числа: 0,8 и 3,2.

404 Последовательности заданы формулой $n$-го члена. Для каждой из них определите, является ли данная последовательность арифметической или геометрической прогрессией. Обоснуйте свой ответ:

а) $b_n = 2 \cdot 5^n$;

б) $b_n = 2 - 5n$;

в) $b_n = 2 - 5^n$;

г) $b_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

а) $b_n = 2 \cdot 5^n$

Для того чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, необходимо проверить, постоянна ли разность между последующим и предыдущим членами. Найдем разность $b_{n+1} - b_n$:
$b_{n+1} - b_n = 2 \cdot 5^{n+1} - 2 \cdot 5^n = 2 \cdot 5^n \cdot 5 - 2 \cdot 5^n = 2 \cdot 5^n(5 - 1) = 8 \cdot 5^n$.
Разность зависит от $n$, значит, она не является постоянной. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Теперь проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией. Для этого нужно проверить, постоянно ли отношение последующего члена к предыдущему. Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 \cdot 5^{n+1}}{2 \cdot 5^n} = \frac{5^{n+1}}{5^n} = 5^{n+1-n} = 5$.
Отношение постоянно и равно 5. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=5$.
Ответ: геометрическая прогрессия.

б) $b_n = 2 - 5n$

Проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией. Найдем разность $b_{n+1} - b_n$:
$b_{n+1} - b_n = (2 - 5(n+1)) - (2 - 5n) = 2 - 5n - 5 - 2 + 5n = -5$.
Разность постоянна и равна -5. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=-5$.

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией. Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 - 5(n+1)}{2 - 5n} = \frac{-3 - 5n}{2 - 5n}$.
Отношение зависит от $n$, следовательно, оно не является постоянным. Значит, последовательность не является геометрической.
Ответ: арифметическая прогрессия.

в) $b_n = 2 - 5^n$

Проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией. Найдем разность $b_{n+1} - b_n$:
$b_{n+1} - b_n = (2 - 5^{n+1}) - (2 - 5^n) = 2 - 5^{n+1} - 2 + 5^n = 5^n - 5^{n+1} = 5^n(1-5) = -4 \cdot 5^n$.
Разность зависит от $n$, следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией. Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 - 5^{n+1}}{2 - 5^n}$.
Отношение зависит от $n$. Например, $b_1 = 2-5 = -3$, $b_2 = 2-25 = -23$. Отношение $\frac{b_2}{b_1} = \frac{-23}{-3} = \frac{23}{3}$.
Возьмем следующие члены: $b_3 = 2-125 = -123$. Отношение $\frac{b_3}{b_2} = \frac{-123}{-23} = \frac{123}{23}$.
Так как $\frac{23}{3} \neq \frac{123}{23}$, отношение не является постоянным. Значит, последовательность не является геометрической.
Ответ: не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией.

г) $b_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$

Проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией. Найдем разность $b_{n+1} - b_n$:
$b_{n+1} - b_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} - 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \cdot \frac{1}{2} - 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \left(\frac{1}{2} - 1\right) = -\frac{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
Разность зависит от $n$, следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией. Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\left(\frac{1}{2}\right)^n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1-n} = \frac{1}{2}$.
Отношение постоянно и равно $\frac{1}{2}$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=\frac{1}{2}$.
Ответ: геометрическая прогрессия.

405 Запишите формулу n-го члена каждой последовательности и определите, является ли она арифметической или геометрической прогрессией:

а) последовательность натуральных степеней числа 3;

б) последовательность кубов натуральных чисел;

в) последовательность натуральных чисел, кратных 7;

г) последовательность натуральных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 4.

а) последовательность натуральных степеней числа 3

Данная последовательность состоит из чисел вида $3^n$, где $n$ — натуральное число ($n = 1, 2, 3, ...$).

Первые члены последовательности: $a_1 = 3^1 = 3$, $a_2 = 3^2 = 9$, $a_3 = 3^3 = 27$, и так далее.

Формула $n$-го члена последовательности: $a_n = 3^n$.

Чтобы определить тип прогрессии, проверим разность и отношение соседних членов.

Проверка на арифметическую прогрессию (постоянство разности $d$):

$a_2 - a_1 = 9 - 3 = 6$

$a_3 - a_2 = 27 - 9 = 18$

Так как разность не является постоянной ($6 \neq 18$), это не арифметическая прогрессия.

Проверка на геометрическую прогрессию (постоянство знаменателя $q$):

$a_2 / a_1 = 9 / 3 = 3$

$a_3 / a_2 = 27 / 9 = 3$

Отношение постоянно и равно 3. Следовательно, это геометрическая прогрессия.

Ответ: Формула $n$-го члена: $a_n = 3^n$. Последовательность является геометрической прогрессией.

б) последовательность кубов натуральных чисел

Данная последовательность состоит из кубов натуральных чисел $n^3$, где $n = 1, 2, 3, ...$ .

Первые члены последовательности: $a_1 = 1^3 = 1$, $a_2 = 2^3 = 8$, $a_3 = 3^3 = 27$, и так далее.

Формула $n$-го члена последовательности: $a_n = n^3$.

Проверим, является ли она арифметической или геометрической прогрессией.

Проверка на арифметическую прогрессию:

$a_2 - a_1 = 8 - 1 = 7$

$a_3 - a_2 = 27 - 8 = 19$

Разность не постоянна ($7 \neq 19$), значит, это не арифметическая прогрессия.

Проверка на геометрическую прогрессию:

$a_2 / a_1 = 8 / 1 = 8$

$a_3 / a_2 = 27 / 8$

Отношение не постоянно ($8 \neq 27/8$), значит, это не геометрическая прогрессия.

Ответ: Формула $n$-го члена: $a_n = n^3$. Последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией.

в) последовательность натуральных чисел, кратных 7

Данная последовательность состоит из натуральных чисел, которые делятся на 7. Такие числа можно представить в виде $7n$, где $n = 1, 2, 3, ...$ .

Первые члены последовательности: $a_1 = 7 \cdot 1 = 7$, $a_2 = 7 \cdot 2 = 14$, $a_3 = 7 \cdot 3 = 21$, и так далее.

Формула $n$-го члена последовательности: $a_n = 7n$.

Проверим, является ли она арифметической или геометрической прогрессией.

Проверка на арифметическую прогрессию:

$a_2 - a_1 = 14 - 7 = 7$

$a_3 - a_2 = 21 - 14 = 7$

Разность постоянна и равна 7. Следовательно, это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=7$ и разностью $d=7$.

Проверка на геометрическую прогрессию:

$a_2 / a_1 = 14 / 7 = 2$

$a_3 / a_2 = 21 / 14 = 1.5$

Отношение не постоянно ($2 \neq 1.5$), значит, это не геометрическая прогрессия.

Ответ: Формула $n$-го члена: $a_n = 7n$. Последовательность является арифметической прогрессией.

г) последовательность натуральных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 4

Числа, которые при делении на 7 дают в остатке 4, можно представить формулой $a_n = 7k + 4$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$).

Первые члены последовательности:

При $k=0$, $a_1 = 7 \cdot 0 + 4 = 4$

При $k=1$, $a_2 = 7 \cdot 1 + 4 = 11$

При $k=2$, $a_3 = 7 \cdot 2 + 4 = 18$

Для $n$-го члена последовательности значение $k$ равно $n-1$. Подставим это в формулу: $a_n = 7(n-1) + 4 = 7n - 7 + 4 = 7n - 3$.

Итак, формула $n$-го члена: $a_n = 7n - 3$.

Проверим, является ли она арифметической или геометрической прогрессией.

Проверка на арифметическую прогрессию:

$a_2 - a_1 = 11 - 4 = 7$

$a_3 - a_2 = 18 - 11 = 7$

Разность постоянна и равна 7. Следовательно, это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=4$ и разностью $d=7$.

Проверка на геометрическую прогрессию:

$a_2 / a_1 = 11 / 4$

$a_3 / a_2 = 18 / 11$

Отношение не постоянно, значит, это не геометрическая прогрессия.

Ответ: Формула $n$-го члена: $a_n = 7n - 3$. Последовательность является арифметической прогрессией.

406 Является ли арифметической или геометрической прогрессией последовательность:

а) $b$; $b^2$; $b^3$; $b^4$; ..., $b \neq 0$;

б) $b$; $2b$; $3b$; $4b$; $5b$; ..., $b \neq 0$;

в) $b$; $b + 1$; $b + 2$; $b + 3$; ...;

г) $b$; $ab$; $a^2b$; $a^3b$; $a^4b$; ..., $b \neq 0$, $a \neq 0$?

а) $b; b^2; b^3; b^4; \dots$ , $b \ne 0$

Чтобы определить, является ли последовательность арифметической, нужно проверить, постоянна ли разность между её соседними членами. Обозначим члены последовательности $x_1=b$, $x_2=b^2$, $x_3=b^3$.
Найдем разности:
$d_1 = x_2 - x_1 = b^2 - b = b(b-1)$
$d_2 = x_3 - x_2 = b^3 - b^2 = b^2(b-1)$

Разность будет постоянной ($d_1 = d_2$), если $b(b-1) = b^2(b-1)$. Это равенство выполняется при $b=1$ (тогда разность равна 0) или при $b=0$, что противоречит условию. Таким образом, последовательность является арифметической только в частном случае при $b=1$.

Чтобы определить, является ли последовательность геометрической, нужно проверить, постоянно ли отношение её соседних членов.
Найдем отношения:
$q_1 = \frac{x_2}{x_1} = \frac{b^2}{b} = b$
$q_2 = \frac{x_3}{x_2} = \frac{b^3}{b^2} = b$

Отношение постоянно и равно $b$. Поскольку по условию $b \ne 0$, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=b$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией.

б) $2b; 3b; 4b; 5b; \dots$ , $b \ne 0$

Обозначим члены последовательности $x_1=2b$, $x_2=3b$, $x_3=4b$.
Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Найдем разность соседних членов:
$d_1 = x_2 - x_1 = 3b - 2b = b$
$d_2 = x_3 - x_2 = 4b - 3b = b$

Разность постоянна и равна $b$. Следовательно, это арифметическая прогрессия с разностью $d=b$.

Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Найдем отношение соседних членов:
$q_1 = \frac{x_2}{x_1} = \frac{3b}{2b} = \frac{3}{2}$
$q_2 = \frac{x_3}{x_2} = \frac{4b}{3b} = \frac{4}{3}$

Отношения не равны ($\frac{3}{2} \ne \frac{4}{3}$), поэтому последовательность не является геометрической.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией.

в) $b; b + 1; b + 2; b + 3; \dots$

Обозначим члены последовательности $x_1=b$, $x_2=b+1$, $x_3=b+2$.
Проверим на арифметическую прогрессию:
$d_1 = x_2 - x_1 = (b+1) - b = 1$
$d_2 = x_3 - x_2 = (b+2) - (b+1) = 1$

Разность постоянна и равна 1. Следовательно, это арифметическая прогрессия с разностью $d=1$.

Проверим на геометрическую прогрессию:
$q_1 = \frac{x_2}{x_1} = \frac{b+1}{b}$
$q_2 = \frac{x_3}{x_2} = \frac{b+2}{b+1}$

Чтобы последовательность была геометрической, должно выполняться равенство $q_1=q_2$: $\frac{b+1}{b} = \frac{b+2}{b+1}$.
$(b+1)^2 = b(b+2)$
$b^2 + 2b + 1 = b^2 + 2b$
$1 = 0$
Получено неверное равенство, значит, последовательность не может быть геометрической ни при каком значении $b$.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией.

г) $b; ab; a^2b; a^3b; a^4b; \dots$ , $b \ne 0, a \ne 0$

Обозначим члены последовательности $x_1=b$, $x_2=ab$, $x_3=a^2b$.
Проверим на арифметическую прогрессию:
$d_1 = x_2 - x_1 = ab - b = b(a-1)$
$d_2 = x_3 - x_2 = a^2b - ab = ab(a-1)$

Разность будет постоянной, если $b(a-1) = ab(a-1)$. Учитывая, что $b \ne 0$, это равенство выполняется при $a-1=0$ (т.е. $a=1$) или при $a=1$. В случае $a=1$ последовательность становится $b; b; b; \dots$ и является арифметической с разностью $d=0$. В общем случае она не является арифметической.

Проверим на геометрическую прогрессию:
$q_1 = \frac{x_2}{x_1} = \frac{ab}{b} = a$
$q_2 = \frac{x_3}{x_2} = \frac{a^2b}{ab} = a$

Отношение постоянно и равно $a$. Поскольку по условию $a \ne 0$, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=a$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией.

407. Вернитесь к задаче о колонии бактерий (с. 145).

а) Пусть численность первого поколения бактерий была 300 единиц. Определите численность десятого поколения бактерий.

б) Численность шестого поколения бактерий равнялась 12 800 единиц. Какова была численность колонии бактерий первого поколения?

Задача о колонии бактерий предполагает, что их численность растет по законам геометрической прогрессии. Каждая бактерия делится, и количество удваивается с каждым поколением. Таким образом, мы имеем дело с геометрической прогрессией, знаменатель которой $q = 2$.

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – численность первого поколения, а $b_n$ – численность n-го поколения.

а)

Дано, что численность первого поколения бактерий $b_1 = 300$ единиц. Требуется найти численность десятого поколения, то есть $b_{10}$.

Используем формулу для n-го члена прогрессии при $n=10$:

$b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = b_1 \cdot q^9$

Подставим известные значения $b_1 = 300$ и $q = 2$:

$b_{10} = 300 \cdot 2^9$

Вычислим значение $2^9$:

$2^9 = 512$

Теперь найдем $b_{10}$:

$b_{10} = 300 \cdot 512 = 153600$

Следовательно, численность десятого поколения бактерий составит 153 600 единиц.

Ответ: 153 600 единиц.

б)

Дано, что численность шестого поколения бактерий $b_6 = 12800$ единиц. Требуется найти, какой была численность первого поколения, то есть $b_1$.

Используем формулу для n-го члена прогрессии при $n=6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$

Подставим известные значения $b_6 = 12800$ и $q=2$:

$12800 = b_1 \cdot 2^5$

Вычислим значение $2^5$:

$2^5 = 32$

Получаем уравнение:

$12800 = b_1 \cdot 32$

Чтобы найти $b_1$, разделим 12800 на 32:

$b_1 = \frac{12800}{32} = 400$

Следовательно, численность колонии бактерий первого поколения была 400 единиц.

Ответ: 400 единиц.

408 Мяч бросают вертикально вниз, и после каждого удара он подскакивает на высоту, равную $\frac{4}{5}$ предыдущей.

а) На какой высоте окажется мяч после четвёртого удара о землю, если после первого удара он подскочил на высоту, равную 250 см?

б) После четвёртого удара мяч подскочил на высоту, равную 64 см. На какую высоту подпрыгнул мяч после первого удара?

а) Высоты, на которые подпрыгивает мяч после каждого удара, образуют геометрическую прогрессию. Обозначим высоту после n-го удара как $h_n$. По условию, высота после первого удара $h_1 = 250$ см. Каждый следующий отскок составляет $\frac{4}{5}$ от высоты предыдущего, следовательно, знаменатель геометрической прогрессии $q = \frac{4}{5}$.
Чтобы найти высоту после четвёртого удара, нужно найти четвёртый член этой прогрессии ($h_4$).
Высота после второго удара:
$h_2 = h_1 \cdot q = 250 \cdot \frac{4}{5} = 50 \cdot 4 = 200$ см.
Высота после третьего удара:
$h_3 = h_2 \cdot q = 200 \cdot \frac{4}{5} = 40 \cdot 4 = 160$ см.
Высота после четвёртого удара:
$h_4 = h_3 \cdot q = 160 \cdot \frac{4}{5} = 32 \cdot 4 = 128$ см.
Также можно использовать общую формулу n-го члена геометрической прогрессии $h_n = h_1 \cdot q^{n-1}$:
$h_4 = h_1 \cdot q^{4-1} = h_1 \cdot q^3 = 250 \cdot (\frac{4}{5})^3 = 250 \cdot \frac{64}{125} = 2 \cdot 64 = 128$ см.
Ответ: 128 см.

б) В данном случае известна высота после четвёртого удара $h_4 = 64$ см, а знаменатель прогрессии остаётся тем же: $q = \frac{4}{5}$. Необходимо найти высоту после первого удара, то есть $h_1$.
Снова используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: $h_n = h_1 \cdot q^{n-1}$.
Для n=4 имеем: $h_4 = h_1 \cdot q^{4-1} = h_1 \cdot q^3$.
Подставим известные значения и решим уравнение относительно $h_1$:
$64 = h_1 \cdot (\frac{4}{5})^3$
$64 = h_1 \cdot \frac{4^3}{5^3}$
$64 = h_1 \cdot \frac{64}{125}$
Чтобы найти $h_1$, разделим обе части уравнения на $\frac{64}{125}$:
$h_1 = 64 \div \frac{64}{125} = 64 \cdot \frac{125}{64} = 125$ см.
Ответ: 125 см.

409 Три фирмы A, B и C одновременно начали свою деятельность, и в первый год доход каждой составил 4 млн р. В последующие четыре года их доход рос так:

в фирме A доход ежегодно увеличивался на 1 млн р., в фирме B ежегодно возрастал в 1,8 раза, в фирме C ежегодно увеличивался в 1,5 раза. Какой из графиков соответствует каждой из этих ситуаций (рис. 4.11)? Задайте каждую последовательность роста доходов с помощью формулы n-го члена.

Для решения задачи проанализируем рост дохода каждой фирмы и сопоставим его с представленными графиками.

Начальное условие для всех фирм: доход в первый год ($n=1$) составляет 4 млн р.

в фирме A

Доход ежегодно увеличивался на 1 млн р. Это означает, что последовательность годовых доходов представляет собой арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $a_1 = 4$, а разность $d = 1$.
Найдем доходы за первые 5 лет:
1-й год: $a_1 = 4$ млн р.
2-й год: $a_2 = 4 + 1 = 5$ млн р.
3-й год: $a_3 = 5 + 1 = 6$ млн р.
4-й год: $a_4 = 6 + 1 = 7$ млн р.
5-й год: $a_5 = 7 + 1 = 8$ млн р.
Такой линейный рост соответствует графику (1), который является прямой линией. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив наши значения, получаем: $a_n = 4 + (n-1) \cdot 1 = 4 + n - 1 = n + 3$.
Ответ: График (1), формула $a_n = n + 3$.

в фирме B

Доход ежегодно возрастал в 1,8 раза. Это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = 4$, а знаменатель прогрессии $q = 1,8$.
Найдем доходы за первые несколько лет:
1-й год: $b_1 = 4$ млн р.
2-й год: $b_2 = 4 \cdot 1,8 = 7,2$ млн р.
3-й год: $b_3 = 7,2 \cdot 1,8 = 12,96$ млн р.
4-й год: $b_4 = 12,96 \cdot 1,8 \approx 23,33$ млн р.
Рост дохода экспоненциальный и самый быстрый из всех трех фирм, так как коэффициент роста (1,8) наибольший. Этому соответствует самая крутая кривая на рисунке — график (3). Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставив наши значения, получаем: $b_n = 4 \cdot 1,8^{n-1}$.
Ответ: График (3), формула $b_n = 4 \cdot 1,8^{n-1}$.

в фирме C

Доход ежегодно увеличивался в 1,5 раза. Это также геометрическая прогрессия с первым членом $c_1 = 4$ и знаменателем $q = 1,5$.
Найдем доходы за первые 5 лет:
1-й год: $c_1 = 4$ млн р.
2-й год: $c_2 = 4 \cdot 1,5 = 6$ млн р.
3-й год: $c_3 = 6 \cdot 1,5 = 9$ млн р.
4-й год: $c_4 = 9 \cdot 1,5 = 13,5$ млн р.
5-й год: $c_5 = 13,5 \cdot 1,5 = 20,25$ млн р.
Рост также экспоненциальный, но медленнее, чем у фирмы B (так как $1,5 < 1,8$), и быстрее, чем у фирмы A. Этим точкам и характеру роста соответствует график (2). Формула n-го члена геометрической прогрессии: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставив наши значения, получаем: $c_n = 4 \cdot 1,5^{n-1}$.
Ответ: График (2), формула $c_n = 4 \cdot 1,5^{n-1}$.