Номер 407, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.4 Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 407, страница 148.

407. Вернитесь к задаче о колонии бактерий (с. 145).

а) Пусть численность первого поколения бактерий была 300 единиц. Определите численность десятого поколения бактерий.

б) Численность шестого поколения бактерий равнялась 12 800 единиц. Какова была численность колонии бактерий первого поколения?

Задача о колонии бактерий предполагает, что их численность растет по законам геометрической прогрессии. Каждая бактерия делится, и количество удваивается с каждым поколением. Таким образом, мы имеем дело с геометрической прогрессией, знаменатель которой $q = 2$.

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – численность первого поколения, а $b_n$ – численность n-го поколения.

а)

Дано, что численность первого поколения бактерий $b_1 = 300$ единиц. Требуется найти численность десятого поколения, то есть $b_{10}$.

Используем формулу для n-го члена прогрессии при $n=10$:

$b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = b_1 \cdot q^9$

Подставим известные значения $b_1 = 300$ и $q = 2$:

$b_{10} = 300 \cdot 2^9$

Вычислим значение $2^9$:

$2^9 = 512$

Теперь найдем $b_{10}$:

$b_{10} = 300 \cdot 512 = 153600$

Следовательно, численность десятого поколения бактерий составит 153 600 единиц.

Ответ: 153 600 единиц.

б)

Дано, что численность шестого поколения бактерий $b_6 = 12800$ единиц. Требуется найти, какой была численность первого поколения, то есть $b_1$.

Используем формулу для n-го члена прогрессии при $n=6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$

Подставим известные значения $b_6 = 12800$ и $q=2$:

$12800 = b_1 \cdot 2^5$

Вычислим значение $2^5$:

$2^5 = 32$

Получаем уравнение:

$12800 = b_1 \cdot 32$

Чтобы найти $b_1$, разделим 12800 на 32:

$b_1 = \frac{12800}{32} = 400$

Следовательно, численность колонии бактерий первого поколения была 400 единиц.

Ответ: 400 единиц.