Номер 400, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.4 Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 400, страница 147.

400 Запишите первые шесть членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если известно, что:

а) $b_1 = -4, q = \frac{1}{2}$;

б) $b_1 = 0,001, q = 10$.

В каждом случае задайте прогрессию с помощью рекуррентной формулы и запишите формулу $n$-го члена для этой прогрессии.

а) Дано: первый член геометрической прогрессии $b_1 = -4$ и её знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

Чтобы найти последующие члены прогрессии, будем умножать предыдущий член на знаменатель $q$.

Первые шесть членов прогрессии:

• $b_1 = -4$
• $b_2 = b_1 \cdot q = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2$
• $b_3 = b_2 \cdot q = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$
• $b_4 = b_3 \cdot q = -1 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$
• $b_5 = b_4 \cdot q = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$
• $b_6 = b_5 \cdot q = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{8}$

Рекуррентная формула, задающая эту прогрессию, состоит из первого члена и правила для нахождения каждого последующего члена через предыдущий:

$b_1 = -4$, $b_{n+1} = b_n \cdot \frac{1}{2}$

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для данной прогрессии формула будет:

$b_n = -4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

Ответ: Первые шесть членов: -4; -2; -1; $-\frac{1}{2}$; $-\frac{1}{4}$; $-\frac{1}{8}$. Рекуррентная формула: $b_1 = -4$, $b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$. Формула n-го члена: $b_n = -4 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

б) Дано: первый член геометрической прогрессии $b_1 = 0,001$ и её знаменатель $q = 10$.

Чтобы найти последующие члены прогрессии, будем умножать предыдущий член на знаменатель $q$.

Первые шесть членов прогрессии:

• $b_1 = 0,001$
• $b_2 = b_1 \cdot q = 0,001 \cdot 10 = 0,01$
• $b_3 = b_2 \cdot q = 0,01 \cdot 10 = 0,1$
• $b_4 = b_3 \cdot q = 0,1 \cdot 10 = 1$
• $b_5 = b_4 \cdot q = 1 \cdot 10 = 10$
• $b_6 = b_5 \cdot q = 10 \cdot 10 = 100$

Рекуррентная формула, задающая эту прогрессию:

$b_1 = 0,001$, $b_{n+1} = b_n \cdot 10$

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для данной прогрессии формула будет:

$b_n = 0,001 \cdot 10^{n-1}$

Ответ: Первые шесть членов: 0,001; 0,01; 0,1; 1; 10; 100. Рекуррентная формула: $b_1 = 0,001$, $b_{n+1} = 10b_n$. Формула n-го члена: $b_n = 0,001 \cdot 10^{n-1}$.