Номер 402, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.4 Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 402, страница 148.

402 а) В геометрической прогрессии $(b_n)$ $b_{10} = \frac{1}{243}$, $q = \frac{1}{3}$. Найдите $b_1$.

б) В геометрической прогрессии $(x_n)$ $x_{12} = 32$, $q = -2$. Найдите $x_1$.

а) Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер члена.
По условию задачи, дано $b_{10} = \frac{1}{243}$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$. Необходимо найти первый член прогрессии $b_1$.
Подставим известные значения в формулу для n-го члена при $n = 10$:
$b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1}$
$\frac{1}{243} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^9$
Чтобы найти $b_1$, выразим его из этого уравнения:
$b_1 = \frac{1}{243} \div \left(\frac{1}{3}\right)^9$
Представим числа в виде степеней тройки для упрощения вычислений: $243 = 3^5$.
$b_1 = \frac{1}{3^5} \div \frac{1}{3^9} = \frac{1}{3^5} \cdot \frac{3^9}{1} = \frac{3^9}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4 = 81$.
Ответ: $b_1 = 81$.

б) Аналогично, используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.
По условию, $x_{12} = 32$ и знаменатель $q = -2$. Необходимо найти первый член прогрессии $x_1$.
Подставим известные значения в формулу для n-го члена при $n = 12$:
$x_{12} = x_1 \cdot q^{12-1}$
$32 = x_1 \cdot (-2)^{11}$
Выразим $x_1$ из уравнения:
$x_1 = \frac{32}{(-2)^{11}}$
Вычислим $(-2)^{11}$. Так как степень нечетная, результат будет отрицательным: $(-2)^{11} = -2048$.
$x_1 = \frac{32}{-2048} = -\frac{32}{2048}$
Для упрощения дроби представим числа в виде степеней двойки: $32 = 2^5$ и $2048 = 2^{11}$.
$x_1 = -\frac{2^5}{2^{11}} = -2^{5-11} = -2^{-6} = -\frac{1}{2^6} = -\frac{1}{64}$.
Ответ: $x_1 = -\frac{1}{64}$.