Номер 408, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.4 Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 408, страница 148.

408 Мяч бросают вертикально вниз, и после каждого удара он подскакивает на высоту, равную $\frac{4}{5}$ предыдущей.

а) На какой высоте окажется мяч после четвёртого удара о землю, если после первого удара он подскочил на высоту, равную 250 см?

б) После четвёртого удара мяч подскочил на высоту, равную 64 см. На какую высоту подпрыгнул мяч после первого удара?

а) Высоты, на которые подпрыгивает мяч после каждого удара, образуют геометрическую прогрессию. Обозначим высоту после n-го удара как $h_n$. По условию, высота после первого удара $h_1 = 250$ см. Каждый следующий отскок составляет $\frac{4}{5}$ от высоты предыдущего, следовательно, знаменатель геометрической прогрессии $q = \frac{4}{5}$.
Чтобы найти высоту после четвёртого удара, нужно найти четвёртый член этой прогрессии ($h_4$).
Высота после второго удара:
$h_2 = h_1 \cdot q = 250 \cdot \frac{4}{5} = 50 \cdot 4 = 200$ см.
Высота после третьего удара:
$h_3 = h_2 \cdot q = 200 \cdot \frac{4}{5} = 40 \cdot 4 = 160$ см.
Высота после четвёртого удара:
$h_4 = h_3 \cdot q = 160 \cdot \frac{4}{5} = 32 \cdot 4 = 128$ см.
Также можно использовать общую формулу n-го члена геометрической прогрессии $h_n = h_1 \cdot q^{n-1}$:
$h_4 = h_1 \cdot q^{4-1} = h_1 \cdot q^3 = 250 \cdot (\frac{4}{5})^3 = 250 \cdot \frac{64}{125} = 2 \cdot 64 = 128$ см.
Ответ: 128 см.

б) В данном случае известна высота после четвёртого удара $h_4 = 64$ см, а знаменатель прогрессии остаётся тем же: $q = \frac{4}{5}$. Необходимо найти высоту после первого удара, то есть $h_1$.
Снова используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: $h_n = h_1 \cdot q^{n-1}$.
Для n=4 имеем: $h_4 = h_1 \cdot q^{4-1} = h_1 \cdot q^3$.
Подставим известные значения и решим уравнение относительно $h_1$:
$64 = h_1 \cdot (\frac{4}{5})^3$
$64 = h_1 \cdot \frac{4^3}{5^3}$
$64 = h_1 \cdot \frac{64}{125}$
Чтобы найти $h_1$, разделим обе части уравнения на $\frac{64}{125}$:
$h_1 = 64 \div \frac{64}{125} = 64 \cdot \frac{125}{64} = 125$ см.
Ответ: 125 см.