Номер 415, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.5 Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 415, страница 152.

415 Выпишите первые пять членов геометрической прогрессии ($b_n$), заданной формулой $n$-го члена, и найдите их сумму:

a) $b_n = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

б) $b_n = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$

а)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, заданная формулой $n$-го члена $b_n = 6 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$.
Это стандартная формула вида $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.
Следовательно, для данной прогрессии $b_1 = 6$ и $q = \frac{2}{3}$.
Чтобы найти первые пять членов прогрессии, подставим в формулу значения $n$ от 1 до 5:
$b_1 = 6 \cdot (\frac{2}{3})^{1-1} = 6 \cdot (\frac{2}{3})^0 = 6 \cdot 1 = 6$
$b_2 = 6 \cdot (\frac{2}{3})^{2-1} = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$
$b_3 = 6 \cdot (\frac{2}{3})^{3-1} = 6 \cdot (\frac{2}{3})^2 = 6 \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$
$b_4 = 6 \cdot (\frac{2}{3})^{4-1} = 6 \cdot (\frac{2}{3})^3 = 6 \cdot \frac{8}{27} = \frac{48}{27} = \frac{16}{9}$
$b_5 = 6 \cdot (\frac{2}{3})^{5-1} = 6 \cdot (\frac{2}{3})^4 = 6 \cdot \frac{16}{81} = \frac{96}{81} = \frac{32}{27}$
Первые пять членов прогрессии: $6; 4; \frac{8}{3}; \frac{16}{9}; \frac{32}{27}$.
Для нахождения их суммы $S_5$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$S_5 = \frac{6 \cdot ((\frac{2}{3})^5 - 1)}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{6 \cdot (\frac{32}{243} - \frac{243}{243})}{-\frac{1}{3}} = \frac{6 \cdot (-\frac{211}{243})}{-\frac{1}{3}} = 6 \cdot \frac{211}{243} \cdot 3 = \frac{18 \cdot 211}{243} = \frac{2 \cdot 211}{27} = \frac{422}{27}$.
Результат можно представить в виде смешанной дроби: $15\frac{17}{27}$.
Ответ: первые пять членов: $6; 4; \frac{8}{3}; \frac{16}{9}; \frac{32}{27}$; их сумма: $\frac{422}{27}$.

б)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, заданная формулой $n$-го члена $b_n = -\frac{2}{81} \cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$.
Из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ следует, что первый член прогрессии $b_1 = -\frac{2}{81}$, а её знаменатель $q = \frac{3}{2}$.
Найдем первые пять членов прогрессии:
$b_1 = -\frac{2}{81} \cdot (\frac{3}{2})^{1-1} = -\frac{2}{81} \cdot 1 = -\frac{2}{81}$
$b_2 = -\frac{2}{81} \cdot (\frac{3}{2})^{2-1} = -\frac{2}{81} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{1}{27}$
$b_3 = -\frac{2}{81} \cdot (\frac{3}{2})^{3-1} = -\frac{2}{81} \cdot \frac{9}{4} = -\frac{1 \cdot 1}{9 \cdot 2} = -\frac{1}{18}$
$b_4 = -\frac{2}{81} \cdot (\frac{3}{2})^{4-1} = -\frac{2}{81} \cdot \frac{27}{8} = -\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 4} = -\frac{1}{12}$
$b_5 = -\frac{2}{81} \cdot (\frac{3}{2})^{5-1} = -\frac{2}{81} \cdot \frac{81}{16} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$
Первые пять членов прогрессии: $-\frac{2}{81}; -\frac{1}{27}; -\frac{1}{18}; -\frac{1}{12}; -\frac{1}{8}$.
Найдем их сумму $S_5$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$S_5 = \frac{-\frac{2}{81} \cdot ((\frac{3}{2})^5 - 1)}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{-\frac{2}{81} \cdot (\frac{243}{32} - 1)}{\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{2}{81} \cdot (\frac{243-32}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{2}{81} \cdot \frac{211}{32}}{\frac{1}{2}} = -\frac{2}{81} \cdot \frac{211}{32} \cdot 2 = -\frac{4 \cdot 211}{81 \cdot 32} = -\frac{211}{81 \cdot 8} = -\frac{211}{648}$.
Ответ: первые пять членов: $-\frac{2}{81}; -\frac{1}{27}; -\frac{1}{18}; -\frac{1}{12}; -\frac{1}{8}$; их сумма: $-\frac{211}{648}$.