Номер 418, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.5 Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 418, страница 152.

418 a) Известны два члена геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_3 = 2$, $b_6 = -54$. Найдите $S_6$.

б) Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если известны два её члена: $b_2 = -8$, $b_8 = -\frac{1}{8}$.

а)

Даны два члена геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_3 = 2$ и $b_6 = -54$.
Чтобы найти сумму первых шести членов $S_6$, нам необходимо сначала найти первый член прогрессии $b_1$ и ее знаменатель $q$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Связь между $b_6$ и $b_3$ можно выразить как $b_6 = b_3 \cdot q^{6-3} = b_3 \cdot q^3$.

Подставим известные значения, чтобы найти знаменатель $q$:
$-54 = 2 \cdot q^3$
$q^3 = \frac{-54}{2} = -27$
$q = \sqrt[3]{-27} = -3$

Теперь найдем первый член $b_1$, используя формулу для $b_3$:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$
$2 = b_1 \cdot (-3)^2$
$2 = b_1 \cdot 9$
$b_1 = \frac{2}{9}$

Теперь мы можем найти сумму первых шести членов прогрессии по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим $n=6$, $b_1 = \frac{2}{9}$ и $q=-3$:
$S_6 = \frac{\frac{2}{9}((-3)^6 - 1)}{-3 - 1} = \frac{\frac{2}{9}(729 - 1)}{-4} = \frac{\frac{2}{9} \cdot 728}{-4}$
$S_6 = \frac{2 \cdot 728}{9 \cdot (-4)} = \frac{1456}{-36} = -\frac{364}{9}$

Ответ: $-\frac{364}{9}$.

б)

Даны два члена геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_2 = -8$ и $b_8 = -\frac{1}{8}$.
Требуется найти сумму первых восьми членов $S_8$.

Аналогично пункту а), найдем знаменатель $q$, используя связь между $b_8$ и $b_2$:
$b_8 = b_2 \cdot q^{8-2} = b_2 \cdot q^6$
Подставим известные значения:
$-\frac{1}{8} = -8 \cdot q^6$
$q^6 = \frac{-1/8}{-8} = \frac{1}{64}$

Это уравнение имеет два действительных решения для $q$:
$q = \sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$ или $q = -\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = -\frac{1}{2}$.
Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = \frac{1}{2}$.
Найдем $b_1$ из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$:
$-8 = b_1 \cdot \frac{1}{2} \implies b_1 = -16$.
Теперь найдем $S_8$:
$S_8 = \frac{b_1(q^8 - 1)}{q - 1} = \frac{-16((\frac{1}{2})^8 - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{-16(\frac{1}{256} - 1)}{-\frac{1}{2}} = 32(\frac{1-256}{256}) = 32 \cdot (-\frac{255}{256}) = -\frac{255}{8}$.

Случай 2: $q = -\frac{1}{2}$.
Найдем $b_1$ из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$:
$-8 = b_1 \cdot (-\frac{1}{2}) \implies b_1 = 16$.
Теперь найдем $S_8$:
$S_8 = \frac{b_1(q^8 - 1)}{q - 1} = \frac{16((-\frac{1}{2})^8 - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{16(\frac{1}{256} - 1)}{-\frac{3}{2}} = \frac{16(-\frac{255}{256})}{-\frac{3}{2}} = \frac{16 \cdot 255 \cdot 2}{256 \cdot 3} = \frac{32 \cdot 255}{256 \cdot 3} = \frac{255}{8 \cdot 3} = \frac{85}{8}$.

Таким образом, существуют две возможные прогрессии, удовлетворяющие условию, и, соответственно, два возможных значения для суммы.

Ответ: $-\frac{255}{8}$ или $\frac{85}{8}$.