Номер 423, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.5 Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 423, страница 153.

423 Здесь приведена классическая задача, которая в разных источниках существует с разными сюжетами. Ситуация, описанная в данном случае, возникла в те времена, когда основным средством быстрой передачи сообщений на дальние расстояния был телеграф.

Вот условие задачи:

Телеграфистке поручено передать важную информацию трём другим телеграфисткам. Каждая из них, в свою очередь, должна передать сообщение трём другим телеграфисткам и т.д. На выполнение поручения у каждой телеграфистки уходит 6 минут. Сколько телеграфисток будут знать эту информацию через полчаса?

Для решения задачи сначала определим, сколько циклов передачи информации произойдет за полчаса.

Полчаса – это 30 минут. Каждая передача (одной телеграфисткой трем другим) занимает 6 минут. Следовательно, количество циклов передачи информации равно:
$30 \text{ минут} / 6 \text{ минут} = 5$ циклов.

Теперь рассчитаем общее количество телеграфисток, которые будут знать информацию, шаг за шагом:

• Изначально (0 минут): 1 телеграфистка знает информацию.
• После 1-го цикла (6 минут): Первая телеграфистка сообщает трем другим ($3^1=3$). Общее число знающих: $1 + 3 = 4$.
• После 2-го цикла (12 минут): Каждая из 3 новых телеграфисток сообщает еще трем ($3 \times 3 = 3^2 = 9$). Общее число знающих: $4 + 9 = 13$.
• После 3-го цикла (18 минут): Каждая из 9 новых телеграфисток сообщает еще трем ($9 \times 3 = 3^3 = 27$). Общее число знающих: $13 + 27 = 40$.
• После 4-го цикла (24 минуты): Каждая из 27 новых телеграфисток сообщает еще трем ($27 \times 3 = 3^4 = 81$). Общее число знающих: $40 + 81 = 121$.
• После 5-го цикла (30 минут): Каждая из 81 новой телеграфистки сообщает еще трем ($81 \times 3 = 3^5 = 243$). Общее число знающих: $121 + 243 = 364$.

Эту задачу также можно решить с помощью формулы суммы членов геометрической прогрессии. Число телеграфисток, узнающих информацию на каждом этапе, представляет собой члены прогрессии со знаменателем 3. Общее число телеграфисток равно сумме:
$S = 1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5$
Это сумма первых 6 членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 1$ и знаменатель $q = 3$.
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
$S_6 = \frac{1 \cdot (3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{729 - 1}{2} = \frac{728}{2} = 364$.

Таким образом, через полчаса информацию будут знать 364 телеграфистки.
Ответ: 364.