Номер 419, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.5 Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 419, страница 152.

419 Найдите значение выражения:

а) $4 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + 4 \cdot 3^9$;

б) $-3 - 6 - 12 - 24 - \dots - 3 \cdot 2^7$;

в) $1 - 2 + 4 - 8 + 16 \dots - 2^9$;

г) $3^0 - 3^1 + 3^2 - 3^3 + \dots + 3^{10}$.

а) $4 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + 4 \cdot 3^9$

Данное выражение представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$S = 4 \cdot (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^9)$

Выражение в скобках является суммой первых 10 членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 1$, знаменатель $q = 3$, а количество членов $n = 10$.

Формула суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Найдем сумму в скобках:

$S_{10} = \frac{1 \cdot (3^{10} - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{10} - 1}{2}$

Теперь найдем значение исходного выражения:

$S = 4 \cdot S_{10} = 4 \cdot \frac{3^{10} - 1}{2} = 2(3^{10} - 1)$

Вычислим $3^{10} = 59049$.

$S = 2(59049 - 1) = 2 \cdot 59048 = 118096$

Ответ: 118096

б) $-3 - 6 - 12 - 24 - \dots - 3 \cdot 2^7$

Вынесем общий множитель -3 за скобки:

$S = -3 \cdot (1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 2^7)$

Выражение в скобках является суммой первых 8 членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 1$, знаменатель $q = 2$, а количество членов $n = 8$ (так как степени от $2^0$ до $2^7$).

Используем формулу суммы геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Найдем сумму в скобках:

$S_8 = \frac{1 \cdot (2^8 - 1)}{2 - 1} = 2^8 - 1$

Вычислим $2^8 = 256$.

$S_8 = 256 - 1 = 255$

Теперь найдем значение исходного выражения:

$S = -3 \cdot S_8 = -3 \cdot 255 = -765$

Ответ: -765

в) $1 - 2 + 4 - 8 + 16 \dots - 2^9$

Данное выражение является суммой членов знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член $b_1 = 1$, знаменатель $q = \frac{-2}{1} = -2$.

Найдем количество членов прогрессии. Общий член прогрессии $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$. Последний член равен $-2^9$.

$1 \cdot (-2)^{n-1} = -2^9$

Отсюда следует, что $n-1 = 9$, а значит $n = 10$.

Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим значения $b_1=1, q=-2, n=10$:

$S_{10} = \frac{1 \cdot ((-2)^{10} - 1)}{-2 - 1} = \frac{2^{10} - 1}{-3}$

Вычислим $2^{10} = 1024$.

$S_{10} = \frac{1024 - 1}{-3} = \frac{1023}{-3} = -341$

Ответ: -341

г) $3^0 - 3^1 + 3^2 - 3^3 + \dots + 3^{10}$

Данное выражение является суммой членов знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член $b_1 = 3^0 = 1$, знаменатель $q = \frac{-3^1}{3^0} = -3$.

Найдем количество членов прогрессии. Общий член прогрессии $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$. Последний член равен $3^{10}$.

$1 \cdot (-3)^{n-1} = 3^{10}$

Так как $3^{10}$ — положительное число, показатель степени $n-1$ должен быть четным. Сравнивая основания, получаем $n-1=10$, откуда $n=11$.

Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим значения $b_1=1, q=-3, n=11$:

$S_{11} = \frac{1 \cdot ((-3)^{11} - 1)}{-3 - 1} = \frac{-3^{11} - 1}{-4} = \frac{3^{11} + 1}{4}$

Вычислим $3^{11} = 3 \cdot 3^{10} = 3 \cdot 59049 = 177147$.

$S_{11} = \frac{177147 + 1}{4} = \frac{177148}{4} = 44287$

Ответ: 44287