Номер 420, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.5 Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 420, страница 152.

420 Определите, сколько зёрен пшеницы должен был отдать правитель из описанной легенды изобретателю шахмат (с. 150) за первую половину шахматной доски.

Согласно знаменитой легенде, изобретатель шахмат попросил у правителя в награду пшеничные зёрна. На первую клетку шахматной доски он попросил положить одно зерно, на вторую — два, на третью — четыре, и так далее, удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Стандартная шахматная доска имеет 64 клетки, поэтому её первая половина состоит из 32 клеток.

Решение

Количество зёрен на клетках доски представляет собой геометрическую прогрессию. Обозначим члены этой прогрессии как $b_1, b_2, b_3, \dots$

Первый член прогрессии (количество зёрен на 1-й клетке) $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q = 2$, так как количество зёрен на каждой следующей клетке удваивается.

Нам нужно найти сумму зёрен на первых 32 клетках, то есть сумму первых 32 членов геометрической прогрессии $S_{32}$.

Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим в формулу наши значения: $b_1 = 1$, $q = 2$, $n = 32$.

$S_{32} = \frac{1 \cdot (2^{32} - 1)}{2 - 1} = \frac{2^{32} - 1}{1} = 2^{32} - 1$

Теперь необходимо вычислить $2^{32}$.

$2^{10} = 1024$

$2^{32} = 2^2 \cdot 2^{30} = 4 \cdot (2^{10})^3 = 4 \cdot 1024^3$

Выполним вычисления:

$1024 \times 1024 = 1 \ 048 \ 576$

$1 \ 048 \ 576 \times 1024 = 1 \ 073 \ 741 \ 824$

$1 \ 073 \ 741 \ 824 \times 4 = 4 \ 294 \ 967 \ 296$

Таким образом, $2^{32} = 4 \ 294 \ 967 \ 296$.

Теперь мы можем найти итоговую сумму зёрен:

$S_{32} = 2^{32} - 1 = 4 \ 294 \ 967 \ 296 - 1 = 4 \ 294 \ 967 \ 295$

Ответ: правитель должен был отдать $4 \ 294 \ 967 \ 295$ (четыре миллиарда двести девяносто четыре миллиона девятьсот шестьдесят семь тысяч двести девяносто пять) зёрен пшеницы.