Номер 425, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.5 Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 425, страница 153.

425 Из одинаковых кубиков строятся две ступенчатые фигуры (рис. 4.14). В первом случае столбики растут равномерно, а во втором высота каждого следующего столбика удваивается по сравнению с высотой предыдущего. Сколько кубиков потребуется для каждой из фигур, если в них содержится:

по 8 столбиков;

по $n$ столбиков?

Рис. 4.14

Для решения задачи рассмотрим каждую фигуру отдельно.

Первая фигура (слева): Высота столбиков увеличивается равномерно. Первый столбик состоит из 1 кубика, второй — из 2, третий — из 3, и так далее. Высота n-го столбика равна n. Количество кубиков в фигуре равно сумме членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1=1$ и разность $d=1$.

Вторая фигура (справа): Высота каждого следующего столбика удваивается. Первый столбик состоит из 1 кубика, второй — из 2, третий — из 4, четвертый — из 8, и так далее. Высота n-го столбика равна $2^{n-1}$. Количество кубиков в фигуре равно сумме членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1=1$ и знаменатель $q=2$.

по 8 столбиков

Для первой фигуры (арифметическая прогрессия) нужно найти сумму $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8$. Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:
$S_8 = \frac{8(1 + 8)}{2} = \frac{8 \cdot 9}{2} = 36$ кубиков.

Для второй фигуры (геометрическая прогрессия) нужно найти сумму $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128$. Используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_8 = \frac{1(2^8 - 1)}{2 - 1} = 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$ кубиков.
Ответ: для первой фигуры потребуется 36 кубиков, для второй — 255 кубиков.

по n столбиков

Для первой фигуры с $n$ столбиками общее количество кубиков вычисляется по формуле суммы первых $n$ натуральных чисел:
$S_n = 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Для второй фигуры с $n$ столбиками общее количество кубиков вычисляется по формуле суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии с $b_1=1$ и $q=2$:
$S_n = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$.
Ответ: для первой фигуры потребуется $\frac{n(n+1)}{2}$ кубиков, для второй — $2^n - 1$ кубиков.