Номер 432, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.6 Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 432, страница 155.

Определите, о каких процентах — простых или сложных — идёт речь в задаче, и решите её (427–432):

432 Николай и Сергей вложили по 10 000 р. в разные банки. У Николая годовой доход составляет 10 %, а у Сергея — 5 %. Верно ли, что:

а) доход Николая через год будет в 2 раза больше, чем доход Сергея;

б) доход Николая через 3 года будет в 2 раза больше, чем доход Сергея?

В данной задаче речь идет о банковских вкладах на несколько лет, поэтому следует исходить из того, что используются сложные проценты. Это означает, что проценты за каждый следующий год начисляются на сумму, включающую уже начисленные ранее проценты (происходит капитализация процентов). Общий доход (начисленные проценты) за $n$ лет рассчитывается по формуле: $Д = P \times ((1+r)^n - 1)$, где $P$ — первоначальный вклад, $r$ — годовая процентная ставка в виде десятичной дроби, $n$ — количество лет.

Исходные данные: первоначальный вклад $P = 10\,000$ р. Годовая ставка Николая $r_Н = 10\% = 0.1$. Годовая ставка Сергея $r_С = 5\% = 0.05$.

а) доход Николая через год будет в 2 раза больше, чем доход Сергея?

Рассчитаем доход каждого через $n=1$ год. Отметим, что за первый год доход по сложным и простым процентам совпадает.

Доход Николая за 1 год:
$Д_Н = 10\,000 \times ((1+0.1)^1 - 1) = 10\,000 \times 0.1 = 1000$ р.

Доход Сергея за 1 год:
$Д_С = 10\,000 \times ((1+0.05)^1 - 1) = 10\,000 \times 0.05 = 500$ р.

Сравним их доходы, найдя их отношение:
$\frac{Д_Н}{Д_С} = \frac{1000}{500} = 2$.

Доход Николая действительно в 2 раза больше дохода Сергея.

Ответ: Да, верно.

б) доход Николая через 3 года будет в 2 раза больше, чем доход Сергея?

Рассчитаем общий доход каждого за $n=3$ года по формуле сложных процентов.

Общий доход Николая за 3 года:
$Д_{Н3} = 10\,000 \times ((1+0.1)^3 - 1) = 10\,000 \times (1.1^3 - 1)$
$Д_{Н3} = 10\,000 \times (1.331 - 1) = 10\,000 \times 0.331 = 3310$ р.

Общий доход Сергея за 3 года:
$Д_{С3} = 10\,000 \times ((1+0.05)^3 - 1) = 10\,000 \times (1.05^3 - 1)$
$Д_{С3} = 10\,000 \times (1.157625 - 1) = 10\,000 \times 0.157625 = 1576.25$ р.

Теперь сравним их доходы. Если бы доход Николая был в 2 раза больше, он составил бы:
$2 \times Д_{С3} = 2 \times 1576.25 = 3152.50$ р.

Так как фактический доход Николая $3310$ р. не равен $3152.50$ р. ($3310 > 3152.50$), то утверждение неверно. Из-за эффекта сложных процентов доход Николая будет более чем в 2 раза превышать доход Сергея.

Ответ: Нет, неверно.