Номер 426, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.5 Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 426, страница 153.

426 Фигура, изображённая на рисунке 4.15, составляется из прямоугольников, причём каждый следующий в 1,5 раза выше предыдущего. Найдите площадь фигуры, если она состоит из 5 прямоугольников; из $n$ прямоугольников.

Puc. 4.15

На осях графика обозначены: $y$ и $x$.

Данная фигура состоит из прямоугольников. Из графика видно, что ширина каждого прямоугольника равна 1 единице (первый от 0 до 1, второй от 1 до 2 и так далее). Высота первого прямоугольника, как видно из графика, равна 1.

По условию, высота каждого следующего прямоугольника в 1,5 раза больше высоты предыдущего. Таким образом, высоты прямоугольников образуют геометрическую прогрессию с первым членом $h_1 = 1$ и знаменателем $q = 1,5$.

Площадь $S_k$ каждого k-го прямоугольника равна произведению его ширины (которая равна 1) на высоту $h_k$. Следовательно, $S_k = 1 \cdot h_k = h_k$. Это означает, что площади прямоугольников также образуют геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = S_1 = 1$ и знаменателем $q = 1,5$.

Общая площадь фигуры, состоящей из $n$ прямоугольников, находится как сумма первых $n$ членов этой геометрической прогрессии по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

если она состоит из 5 прямоугольников

Для нахождения площади фигуры из 5 прямоугольников, нам нужно найти сумму первых пяти членов прогрессии, то есть $n=5$. Подставим в формулу значения $b_1 = 1$, $q = 1,5$ и $n = 5$:

$S_5 = \frac{1 \cdot (1,5^5 - 1)}{1,5 - 1} = \frac{1,5^5 - 1}{0,5}$

Рассчитаем $1,5^5$:

$1,5^5 = (\frac{3}{2})^5 = \frac{3^5}{2^5} = \frac{243}{32} = 7,59375$

Теперь подставим это значение в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{7,59375 - 1}{0,5} = \frac{6,59375}{0,5} = 13,1875$

Также можно представить результат в виде обыкновенной дроби: $\frac{211}{16}$ или $13\frac{3}{16}$.

Ответ: $13,1875$

из n прямоугольников

Для нахождения площади фигуры, состоящей из $n$ прямоугольников, используем ту же формулу суммы геометрической прогрессии, где $n$ является количеством прямоугольников.

Подставляем известные значения $b_1 = 1$ и $q = 1,5$:

$S_n = \frac{1 \cdot (1,5^n - 1)}{1,5 - 1} = \frac{1,5^n - 1}{0,5} = 2(1,5^n - 1)$

Формулу можно также записать с использованием обыкновенных дробей:

$S_n = 2((\frac{3}{2})^n - 1)$

Ответ: $2(1,5^n - 1)$