Номер 431, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.6 Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 431, страница 155.

Определите, о каких процентах — простых или сложных — идёт речь в задаче, и решите её (427–432):

431

При покупке квартиры в строящемся доме покупатель заключил со строительной фирмой следующий договор: сразу после заключения договора он выплачивает 10 % стоимости квартиры, а далее начинает ежемесячно выплачивать 1,5 % от её стоимости. Квартира стоит 1 200 000 р.

а) Составьте формулу для вычисления суммы, выплаченной покупателем квартиры через $n$ месяцев после заключения договора. Вычислите, сколько было выплачено через 1 год; через 2 года.

Формула для суммы, выплаченной через $n$ месяцев:

$P(n) = 120000 + 18000n$

б) Составьте формулу для вычисления суммы, которую осталось заплатить через $n$ месяцев с начала действия договора, и найдите, сколько останется заплатить через 1 год; через 2 года.

Формула для суммы, которую осталось заплатить через $n$ месяцев:

$R(n) = 1080000 - 18000n$

в) На сколько лет рассчитана выплата стоимости квартиры?

г) Проиллюстрируйте графически ситуации, описанные в заданиях «а» и «б», откладывая по горизонтальной оси число лет, в течение которых производится расчёт, а по вертикальной оси — денежные суммы.

В задаче речь идет о простых процентах, так как ежемесячный платеж в размере 1,5% рассчитывается от первоначальной полной стоимости квартиры (1 200 000 р.), а не от остатка долга. Это означает, что сумма ежемесячного платежа является постоянной величиной.

а) Составьте формулу для вычисления суммы, выплаченной покупателем квартиры через n месяцев после заключения договора. Вычислите, сколько было выплачено через 1 год; через 2 года.

Полная стоимость квартиры $S = 1\;200\;000$ рублей.
Первоначальный взнос составляет 10% от стоимости квартиры:
$P_0 = S \cdot 0,10 = 1\;200\;000 \cdot 0,10 = 120\;000$ рублей.
Ежемесячный платеж составляет 1,5% от стоимости квартиры:
$P_m = S \cdot 0,015 = 1\;200\;000 \cdot 0,015 = 18\;000$ рублей.
Сумма, выплаченная через $n$ месяцев, состоит из первоначального взноса и $n$ ежемесячных платежей. Обозначим ее как $S_{выпл}(n)$.
Формула для вычисления выплаченной суммы:
$S_{выпл}(n) = P_0 + n \cdot P_m$
Подставляя числовые значения, получаем:
$S_{выпл}(n) = 120\;000 + 18\;000 \cdot n$

Вычислим, сколько было выплачено через 1 год ($n=12$ месяцев):
$S_{выпл}(12) = 120\;000 + 18\;000 \cdot 12 = 120\;000 + 216\;000 = 336\;000$ рублей.
Вычислим, сколько было выплачено через 2 года ($n=24$ месяца):
$S_{выпл}(24) = 120\;000 + 18\;000 \cdot 24 = 120\;000 + 432\;000 = 552\;000$ рублей.

Ответ: Формула для выплаченной суммы: $S_{выпл}(n) = 120\;000 + 18\;000 \cdot n$. Через 1 год выплачено 336 000 рублей, через 2 года — 552 000 рублей.

б) Составьте формулу для вычисления суммы, которую осталось заплатить через n месяцев с начала действия договора, и найдите, сколько останется заплатить через 1 год; через 2 года.

Сумма, которую осталось заплатить, $S_{ост}(n)$, равна полной стоимости квартиры $S$ минус уже выплаченная сумма $S_{выпл}(n)$.
$S_{ост}(n) = S - S_{выпл}(n)$
Подставляя формулу из пункта «а», получаем:
$S_{ост}(n) = 1\;200\;000 - (120\;000 + 18\;000 \cdot n) = 1\;080\;000 - 18\;000 \cdot n$
Это и есть искомая формула.

Вычислим, сколько осталось заплатить через 1 год ($n=12$ месяцев):
$S_{ост}(12) = 1\;080\;000 - 18\;000 \cdot 12 = 1\;080\;000 - 216\;000 = 864\;000$ рублей.
Вычислим, сколько осталось заплатить через 2 года ($n=24$ месяца):
$S_{ост}(24) = 1\;080\;000 - 18\;000 \cdot 24 = 1\;080\;000 - 432\;000 = 648\;000$ рублей.

Ответ: Формула для оставшейся суммы: $S_{ост}(n) = 1\;080\;000 - 18\;000 \cdot n$. Через 1 год останется заплатить 864 000 рублей, через 2 года — 648 000 рублей.

в) На сколько лет рассчитана выплата стоимости квартиры?

Выплата будет завершена, когда оставшаяся сумма станет равна нулю, то есть $S_{ост}(n) = 0$.
$1\;080\;000 - 18\;000 \cdot n = 0$
$18\;000 \cdot n = 1\;080\;000$
$n = \frac{1\;080\;000}{18\;000} = \frac{1080}{18} = 60$ месяцев.
Чтобы перевести месяцы в годы, разделим их количество на 12:
Количество лет = $\frac{60}{12} = 5$ лет.

Ответ: Выплата стоимости квартиры рассчитана на 5 лет.

г) Проиллюстрируйте графически ситуации, описанные в заданиях «а» и «б», откладывая по горизонтальной оси число лет, в течение которых производится расчёт, а по вертикальной оси — денежные суммы.

Для построения графиков используем прямоугольную систему координат. По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываем время $t$ в годах, от 0 до 5. По вертикальной оси (оси ординат) откладываем денежную сумму в рублях.

1. График выплаченной суммы (задание «а»).
Обозначим выплаченную сумму как $y_a(t)$. Так как в году 12 месяцев, то $n = 12t$.
Формула из пункта «а» в зависимости от лет $t$:
$y_a(t) = 120\;000 + 18\;000 \cdot (12t) = 120\;000 + 216\;000 \cdot t$
Это линейная функция. Графиком является отрезок прямой, проходящий через две точки:
- При $t=0$: $y_a(0) = 120\;000$. Начальная точка (0; 120 000). Это первоначальный взнос. - При $t=5$: $y_a(5) = 120\;000 + 216\;000 \cdot 5 = 120\;000 + 1\;080\;000 = 1\;200\;000$. Конечная точка (5; 1 200 000). Это полная стоимость квартиры. График представляет собой возрастающий отрезок прямой.

2. График оставшейся суммы (задание «б»).
Обозначим оставшуюся сумму как $y_b(t)$.
Формула из пункта «б» в зависимости от лет $t$:
$y_b(t) = 1\;080\;000 - 18\;000 \cdot (12t) = 1\;080\;000 - 216\;000 \cdot t$
Это также линейная функция. Графиком является отрезок прямой, проходящий через две точки:
- При $t=0$: $y_b(0) = 1\;080\;000$. Начальная точка (0; 1 080 000). Это остаток долга после первого взноса. - При $t=5$: $y_b(5) = 1\;080\;000 - 216\;000 \cdot 5 = 1\;080\;000 - 1\;080\;000 = 0$. Конечная точка (5; 0). Долг полностью погашен. График представляет собой убывающий отрезок прямой.

Ответ: Графики представляют собой два отрезка прямых на временном интервале от $t=0$ до $t=5$ лет. График выплаченной суммы $y_a(t) = 120\;000 + 216\;000t$ начинается в точке (0; 120 000) и возрастает до точки (5; 1 200 000). График оставшейся суммы $y_b(t) = 1\;080\;000 - 216\;000t$ начинается в точке (0; 1 080 000) и убывает до точки (5; 0).