Номер 3, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 3, страница 159.

3 Убедитесь в том, что сумма элементов пятой строки треугольника Паскаля равна $2^5$; десятой строки — $2^{10}$. Докажите, что сумма элементов строки с номером $n$ равна $2^n$.

Подсказка. Можно воспользоваться результатом упражнения 2 или подставить в формулу бинома Ньютона $a = 1$ и $b = 1$.

Убедитесь в том, что сумма элементов пятой строки треугольника Паскаля равна 2⁵;

Треугольник Паскаля — это бесконечная треугольная таблица биномиальных коэффициентов. Нумерация строк начинается с нулевой. Каждая строка начинается и заканчивается единицей, а каждый промежуточный элемент равен сумме двух элементов, стоящих над ним в предыдущей строке.

Построим первые несколько строк, чтобы дойти до пятой (строка с номером $n=5$):

• $n=0$: 1
• $n=1$: 1 1
• $n=2$: 1 2 1
• $n=3$: 1 3 3 1
• $n=4$: 1 4 6 4 1
• $n=5$: 1 5 10 10 5 1

Найдем сумму элементов пятой строки:

$1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$

Теперь вычислим значение $2^5$:

$2^5 = 32$

Значения совпадают, что и требовалось проверить.

Ответ: Сумма элементов пятой строки равна $1+5+10+10+5+1=32$, что равно $2^5$.

десятой строки — 2¹⁰.

Десятая строка треугольника Паскаля (строка с номером $n=10$) состоит из биномиальных коэффициентов $C_{10}^k$ для $k$ от 0 до 10. Элементы этой строки:

1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1.

Найдем сумму этих элементов:

$1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 1024$

Теперь вычислим значение $2^{10}$:

$2^{10} = 1024$

Значения также совпадают.

Ответ: Сумма элементов десятой строки равна $1024$, что равно $2^{10}$.

Докажите, что сумма элементов строки с номером n равна 2ⁿ.

Для доказательства воспользуемся формулой бинома Ньютона, как указано в подсказке.

Формула бинома Ньютона для разложения $(a+b)^n$ выглядит так:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^k a^{n-k} b^k + \dots + C_n^n a^0 b^n$

В сжатом виде с использованием знака суммы:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

Коэффициенты $C_n^k$ (читается "це из эн по ка") — это биномиальные коэффициенты, которые и составляют строку с номером $n$ в треугольнике Паскаля.

Теперь подставим в эту формулу значения $a=1$ и $b=1$:

$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (1)^{n-k} (1)^k$

Упростим левую и правую части этого равенства.

Левая часть: $(1+1)^n = 2^n$.

Правая часть: поскольку $1$ в любой степени равен $1$, то $(1)^{n-k} = 1$ и $(1)^k = 1$. Тогда правая часть превращается в сумму самих биномиальных коэффициентов:

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot 1 \cdot 1 = \sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n$

Эта сумма и представляет собой сумму всех элементов строки с номером $n$ треугольника Паскаля.

Приравнивая упрощенные левую и правую части, мы получаем тождество:

$2^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство следует из формулы бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$. При подстановке $a=1$ и $b=1$ левая часть становится $(1+1)^n=2^n$, а правая — суммой биномиальных коэффициентов $\sum_{k=0}^{n} C_n^k$, которые являются элементами n-й строки треугольника Паскаля. Таким образом, $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$.