Номер 6, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 6, страница 159.

6. Представьте в виде многочлена:

a) $(a + b)^6$;

б) $(x + y)^9$;

в) $(x - 1)^5$;

г) $(a + 2c)^4$;

д) $(2x - 3y)^3$.

Для решения данной задачи используется формула бинома Ньютона:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k = C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1}y + C_n^2 x^{n-2}y^2 + \dots + C_n^n y^n$,

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

а) Для раскрытия скобок $(a + b)^6$ воспользуемся формулой бинома Ньютона при $n=6$.

Биномиальные коэффициенты $C_6^k$ для $k = 0, 1, \dots, 6$ равны: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$.

Подставляя эти коэффициенты, получаем разложение:

$(a + b)^6 = 1 \cdot a^6b^0 + 6 \cdot a^5b^1 + 15 \cdot a^4b^2 + 20 \cdot a^3b^3 + 15 \cdot a^2b^4 + 6 \cdot a^1b^5 + 1 \cdot a^0b^6$

$(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

Ответ: $a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$.

б) Для разложения $(x + y)^9$ используем бином Ньютона при $n=9$.

Биномиальные коэффициенты $C_9^k$ для $k = 0, 1, \dots, 9$ равны: $1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1$.

Подставляя коэффициенты в формулу, получаем:

$(x + y)^9 = x^9 + 9x^8y + 36x^7y^2 + 84x^6y^3 + 126x^5y^4 + 126x^4y^5 + 84x^3y^6 + 36x^2y^7 + 9xy^8 + y^9$

Ответ: $x^9 + 9x^8y + 36x^7y^2 + 84x^6y^3 + 126x^5y^4 + 126x^4y^5 + 84x^3y^6 + 36x^2y^7 + 9xy^8 + y^9$.

в) Используем бином Ньютона для $(x - 1)^5$, где $n=5$. Биномиальные коэффициенты $C_5^k$ равны $1, 5, 10, 10, 5, 1$.

Так как второй член в скобках отрицательный ($-1$), знаки в разложении будут чередоваться:

$(x - 1)^5 = 1 \cdot x^5 \cdot (-1)^0 + 5 \cdot x^4 \cdot (-1)^1 + 10 \cdot x^3 \cdot (-1)^2 + 10 \cdot x^2 \cdot (-1)^3 + 5 \cdot x^1 \cdot (-1)^4 + 1 \cdot x^0 \cdot (-1)^5$

$(x - 1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$

Ответ: $x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$.

г) Для разложения $(a + 2c)^4$ применим бином Ньютона, где $n=4$.

Биномиальные коэффициенты $C_4^k$ равны $1, 4, 6, 4, 1$.

Подставляем в формулу, где первый член $a$, а второй $2c$:

$(a + 2c)^4 = 1 \cdot a^4 + 4 \cdot a^3(2c)^1 + 6 \cdot a^2(2c)^2 + 4 \cdot a^1(2c)^3 + 1 \cdot (2c)^4$

$(a + 2c)^4 = a^4 + 4a^3(2c) + 6a^2(4c^2) + 4a(8c^3) + 16c^4$

$(a + 2c)^4 = a^4 + 8a^3c + 24a^2c^2 + 32ac^3 + 16c^4$

Ответ: $a^4 + 8a^3c + 24a^2c^2 + 32ac^3 + 16c^4$.

д) Для разложения $(2x - 3y)^3$ используем формулу сокращенного умножения для куба разности: $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

В данном случае $A=2x$ и $B=3y$.

Подставим эти значения в формулу:

$(2x - 3y)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 - (3y)^3$

$(2x - 3y)^3 = 8x^3 - 3(4x^2)(3y) + 3(2x)(9y^2) - 27y^3$

$(2x - 3y)^3 = 8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3$

Ответ: $8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3$.