Страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1 Постройте в тетрадях первые десять строк треугольника Паскаля. (Это пригодится вам при решении следующих задач.)

Треугольник Паскаля — это арифметический треугольник, составленный из биномиальных коэффициентов. Он строится по следующему правилу: на вершине и по боковым сторонам треугольника стоят единицы. Каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке. Нумерация строк начинается с нуля.

Элемент в n-й строке и k-й позиции (нумерация с 0) равен биномиальному коэффициенту $C_n^k = \binom{n}{k}$, который вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Первые десять строк треугольника Паскаля (строки с 0 по 9) выглядят следующим образом:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Ответ: Первые десять строк треугольника Паскаля построены и представлены выше.

2 Проверьте на примерах, что сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей строки. Объясните, почему так получается.

Проверьте на примерах, что сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей строки.

Для проверки рассмотрим первые несколько строк треугольника Паскаля, нумеруя их с нуля, и найдем сумму их элементов:

Строка 0: 1. Сумма $S_0 = 1$.
Строка 1: 1 1. Сумма $S_1 = 1+1=2$.
Строка 2: 1 2 1. Сумма $S_2 = 1+2+1=4$.
Строка 3: 1 3 3 1. Сумма $S_3 = 1+3+3+1=8$.
Строка 4: 1 4 6 4 1. Сумма $S_4 = 1+4+6+4+1=16$.
Строка 5: 1 5 10 10 5 1. Сумма $S_5 = 1+5+10+10+5+1=32$.

Теперь сравним суммы элементов соседних строк:

$S_1 / S_0 = 2 / 1 = 2$
$S_2 / S_1 = 4 / 2 = 2$
$S_3 / S_2 = 8 / 4 = 2$
$S_4 / S_3 = 16 / 8 = 2$
$S_5 / S_4 = 32 / 16 = 2$

Примеры показывают, что суммы образуют последовательность $1, 2, 4, 8, 16, 32, \dots$, где каждый следующий член в два раза больше предыдущего. Можно заметить, что сумма элементов $n$-ой строки равна $2^n$.

Ответ: Примеры подтверждают утверждение; суммы для строк с 0 по 5 равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, и каждая следующая сумма вдвое больше предыдущей.

Объясните, почему так получается.

Это свойство можно объяснить двумя способами.

Способ 1: Исходя из правила построения треугольника.

Каждый элемент в треугольнике Паскаля (кроме крайних единиц) равен сумме двух элементов, стоящих над ним в предыдущей строке. Обозначим сумму элементов строки $n$ как $S_n$. При вычислении суммы элементов следующей, $(n+1)$-ой, строки, каждый элемент из строки $n$ используется дважды. Например, элемент $C_n^k$ из $n$-ой строки вносит вклад в два элемента $(n+1)$-ой строки: $C_{n+1}^k = C_n^{k-1} + C_n^k$ и $C_{n+1}^{k+1} = C_n^k + C_n^{k+1}$. Таким образом, при сложении всех элементов $(n+1)$-ой строки, каждое число из $n$-ой строки будет учтено ровно дважды. Следовательно, общая сумма элементов $(n+1)$-ой строки оказывается вдвое больше суммы элементов $n$-ой строки. То есть, $S_{n+1} = 2 \cdot S_n$.

Способ 2: Используя бином Ньютона.

Элементы $n$-ой строки треугольника Паскаля являются биномиальными коэффициентами $C_n^k$ в разложении степени двучлена $(x+y)^n$:

$(x+y)^n = C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1}y + C_n^2 x^{n-2}y^2 + \dots + C_n^n y^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$.

Сумма элементов $n$-ой строки — это сумма всех этих коэффициентов: $S_n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$.

Чтобы найти эту сумму, достаточно подставить в формулу бинома $x=1$ и $y=1$:

$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot 1^{n-k} \cdot 1^k = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$.

Таким образом, $S_n = 2^n$.

Для следующей, $(n+1)$-ой, строки сумма элементов будет равна $S_{n+1} = 2^{n+1}$.

Соответственно, отношение сумм соседних строк равно $\frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2$.

Ответ: Сумма элементов $(n+1)$-й строки в два раза больше суммы элементов $n$-й строки, потому что каждый элемент $n$-й строки участвует в формировании двух элементов $(n+1)$-й строки при сложении. Также это следует из формулы бинома Ньютона: сумма элементов $n$-й строки равна $2^n$, а $(n+1)$-й строки — $2^{n+1}$, и их отношение равно 2.

3 Убедитесь в том, что сумма элементов пятой строки треугольника Паскаля равна $2^5$; десятой строки — $2^{10}$. Докажите, что сумма элементов строки с номером $n$ равна $2^n$.

Подсказка. Можно воспользоваться результатом упражнения 2 или подставить в формулу бинома Ньютона $a = 1$ и $b = 1$.

Убедитесь в том, что сумма элементов пятой строки треугольника Паскаля равна 2⁵;

Треугольник Паскаля — это бесконечная треугольная таблица биномиальных коэффициентов. Нумерация строк начинается с нулевой. Каждая строка начинается и заканчивается единицей, а каждый промежуточный элемент равен сумме двух элементов, стоящих над ним в предыдущей строке.

Построим первые несколько строк, чтобы дойти до пятой (строка с номером $n=5$):

• $n=0$: 1
• $n=1$: 1 1
• $n=2$: 1 2 1
• $n=3$: 1 3 3 1
• $n=4$: 1 4 6 4 1
• $n=5$: 1 5 10 10 5 1

Найдем сумму элементов пятой строки:

$1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$

Теперь вычислим значение $2^5$:

$2^5 = 32$

Значения совпадают, что и требовалось проверить.

Ответ: Сумма элементов пятой строки равна $1+5+10+10+5+1=32$, что равно $2^5$.

десятой строки — 2¹⁰.

Десятая строка треугольника Паскаля (строка с номером $n=10$) состоит из биномиальных коэффициентов $C_{10}^k$ для $k$ от 0 до 10. Элементы этой строки:

1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1.

Найдем сумму этих элементов:

$1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 1024$

Теперь вычислим значение $2^{10}$:

$2^{10} = 1024$

Значения также совпадают.

Ответ: Сумма элементов десятой строки равна $1024$, что равно $2^{10}$.

Докажите, что сумма элементов строки с номером n равна 2ⁿ.

Для доказательства воспользуемся формулой бинома Ньютона, как указано в подсказке.

Формула бинома Ньютона для разложения $(a+b)^n$ выглядит так:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^k a^{n-k} b^k + \dots + C_n^n a^0 b^n$

В сжатом виде с использованием знака суммы:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

Коэффициенты $C_n^k$ (читается "це из эн по ка") — это биномиальные коэффициенты, которые и составляют строку с номером $n$ в треугольнике Паскаля.

Теперь подставим в эту формулу значения $a=1$ и $b=1$:

$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (1)^{n-k} (1)^k$

Упростим левую и правую части этого равенства.

Левая часть: $(1+1)^n = 2^n$.

Правая часть: поскольку $1$ в любой степени равен $1$, то $(1)^{n-k} = 1$ и $(1)^k = 1$. Тогда правая часть превращается в сумму самих биномиальных коэффициентов:

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot 1 \cdot 1 = \sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n$

Эта сумма и представляет собой сумму всех элементов строки с номером $n$ треугольника Паскаля.

Приравнивая упрощенные левую и правую части, мы получаем тождество:

$2^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство следует из формулы бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$. При подстановке $a=1$ и $b=1$ левая часть становится $(1+1)^n=2^n$, а правая — суммой биномиальных коэффициентов $\sum_{k=0}^{n} C_n^k$, которые являются элементами n-й строки треугольника Паскаля. Таким образом, $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$.

4 Запишите с помощью символа $C_n^m$ шестую, седьмую и восьмую строки треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля — это бесконечная треугольная таблица биномиальных коэффициентов. Элементы каждой строки треугольника Паскаля являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона $(a+b)^n$.

Строки в треугольнике Паскаля принято нумеровать с нуля. Нулевая строка (для $n=0$) состоит из одного числа $C_0^0=1$. Первая строка (для $n=1$) состоит из чисел $C_1^0$ и $C_1^1$. В общем виде, строка с номером $n$ (при нумерации с нуля) состоит из биномиальных коэффициентов $C_n^m$, где $m$ изменяется от 0 до $n$.

Таким образом, порядковый номер строки (первая, вторая, и т.д.) на единицу больше, чем индекс $n$ в формуле $C_n^m$. То есть, для $k$-ой строки треугольника Паскаля используется $n = k - 1$.

Шестая строка

Для шестой по счету строки порядковый номер $k=6$. Следовательно, номер $n$ для биномиальных коэффициентов будет $n = 6 - 1 = 5$. Эта строка состоит из $n + 1 = 6$ элементов, которые являются коэффициентами разложения $(a+b)^5$. Элементы этой строки записываются как $C_5^m$ для $m$ от 0 до 5.

Ответ: $C_5^0, C_5^1, C_5^2, C_5^3, C_5^4, C_5^5$.

Седьмая строка

Для седьмой по счету строки порядковый номер $k=7$. Следовательно, номер $n$ для биномиальных коэффициентов будет $n = 7 - 1 = 6$. Эта строка состоит из $n + 1 = 7$ элементов, которые являются коэффициентами разложения $(a+b)^6$. Элементы этой строки записываются как $C_6^m$ для $m$ от 0 до 6.

Ответ: $C_6^0, C_6^1, C_6^2, C_6^3, C_6^4, C_6^5, C_6^6$.

Восьмая строка

Для восьмой по счету строки порядковый номер $k=8$. Следовательно, номер $n$ для биномиальных коэффициентов будет $n = 8 - 1 = 7$. Эта строка состоит из $n + 1 = 8$ элементов, которые являются коэффициентами разложения $(a+b)^7$. Элементы этой строки записываются как $C_7^m$ для $m$ от 0 до 7.

Ответ: $C_7^0, C_7^1, C_7^2, C_7^3, C_7^4, C_7^5, C_7^6, C_7^7$.

5. Сравните $C_5^3$ и $C_5^2$; $C_7^1$ и $C_7^6$; $C_{10}^6$ и $C_{10}^4$. Сформулируйте соответствующее свойство и запишите его с помощью символов.

Сравнение $C_5^3$ и $C_5^2$
Для сравнения значений вычислим каждое из них, используя формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{3! \cdot 1 \cdot 2} = \frac{20}{2} = 10$.
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{20}{2} = 10$.
Так как $10 = 10$, то $C_5^3 = C_5^2$.
Ответ: $C_5^3 = C_5^2$.

Сравнение $C_7^1$ и $C_7^6$
$C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1! \cdot 6!} = \frac{6! \cdot 7}{1 \cdot 6!} = 7$.
$C_7^6 = \frac{7!}{6!(7-6)!} = \frac{7!}{6! \cdot 1!} = \frac{6! \cdot 7}{6! \cdot 1} = 7$.
Так как $7 = 7$, то $C_7^1 = C_7^6$.
Ответ: $C_7^1 = C_7^6$.

Сравнение $C_{10}^6$ и $C_{10}^4$
$C_{10}^6 = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{6! \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4)} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{24} = 7 \cdot (8/8) \cdot (9/3) \cdot 10 / (24/8/3) = 7 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 10 = 210$.
$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot 6!} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{24} = 210$.
Так как $210 = 210$, то $C_{10}^6 = C_{10}^4$.
Ответ: $C_{10}^6 = C_{10}^4$.

Формулировка соответствующего свойства и его запись с помощью символов
На основе проведенных вычислений мы видим, что во всех случаях сравниваемые величины равны. Заметим, что в каждой паре $C_n^k$ и $C_n^m$ сумма верхних индексов равна нижнему: $3+2=5$, $1+6=7$ и $6+4=10$. Это наблюдение приводит нас к общему свойству чисел сочетаний.

Свойство (свойство симметричности): Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ равно числу сочетаний из $n$ элементов по $n-k$. Смысл этого свойства в том, что выбор $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов, эквивалентен выбору $n-k$ элементов, которые не будут включены в итоговую группу.

Запись с помощью символов: Это свойство записывается в виде следующего тождества:
$C_n^k = C_n^{n-k}$
Данное тождество справедливо для любых целых неотрицательных чисел $n$ и $k$ при условии $0 \le k \le n$.
Ответ: Свойство симметричности: число способов выбрать $k$ элементов из $n$ равно числу способов выбрать $n-k$ элементов из $n$. В виде формулы: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

6. Представьте в виде многочлена:

a) $(a + b)^6$;

б) $(x + y)^9$;

в) $(x - 1)^5$;

г) $(a + 2c)^4$;

д) $(2x - 3y)^3$.

Для решения данной задачи используется формула бинома Ньютона:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k = C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1}y + C_n^2 x^{n-2}y^2 + \dots + C_n^n y^n$,

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

а) Для раскрытия скобок $(a + b)^6$ воспользуемся формулой бинома Ньютона при $n=6$.

Биномиальные коэффициенты $C_6^k$ для $k = 0, 1, \dots, 6$ равны: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$.

Подставляя эти коэффициенты, получаем разложение:

$(a + b)^6 = 1 \cdot a^6b^0 + 6 \cdot a^5b^1 + 15 \cdot a^4b^2 + 20 \cdot a^3b^3 + 15 \cdot a^2b^4 + 6 \cdot a^1b^5 + 1 \cdot a^0b^6$

$(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

Ответ: $a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$.

б) Для разложения $(x + y)^9$ используем бином Ньютона при $n=9$.

Биномиальные коэффициенты $C_9^k$ для $k = 0, 1, \dots, 9$ равны: $1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1$.

Подставляя коэффициенты в формулу, получаем:

$(x + y)^9 = x^9 + 9x^8y + 36x^7y^2 + 84x^6y^3 + 126x^5y^4 + 126x^4y^5 + 84x^3y^6 + 36x^2y^7 + 9xy^8 + y^9$

Ответ: $x^9 + 9x^8y + 36x^7y^2 + 84x^6y^3 + 126x^5y^4 + 126x^4y^5 + 84x^3y^6 + 36x^2y^7 + 9xy^8 + y^9$.

в) Используем бином Ньютона для $(x - 1)^5$, где $n=5$. Биномиальные коэффициенты $C_5^k$ равны $1, 5, 10, 10, 5, 1$.

Так как второй член в скобках отрицательный ($-1$), знаки в разложении будут чередоваться:

$(x - 1)^5 = 1 \cdot x^5 \cdot (-1)^0 + 5 \cdot x^4 \cdot (-1)^1 + 10 \cdot x^3 \cdot (-1)^2 + 10 \cdot x^2 \cdot (-1)^3 + 5 \cdot x^1 \cdot (-1)^4 + 1 \cdot x^0 \cdot (-1)^5$

$(x - 1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$

Ответ: $x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$.

г) Для разложения $(a + 2c)^4$ применим бином Ньютона, где $n=4$.

Биномиальные коэффициенты $C_4^k$ равны $1, 4, 6, 4, 1$.

Подставляем в формулу, где первый член $a$, а второй $2c$:

$(a + 2c)^4 = 1 \cdot a^4 + 4 \cdot a^3(2c)^1 + 6 \cdot a^2(2c)^2 + 4 \cdot a^1(2c)^3 + 1 \cdot (2c)^4$

$(a + 2c)^4 = a^4 + 4a^3(2c) + 6a^2(4c^2) + 4a(8c^3) + 16c^4$

$(a + 2c)^4 = a^4 + 8a^3c + 24a^2c^2 + 32ac^3 + 16c^4$

Ответ: $a^4 + 8a^3c + 24a^2c^2 + 32ac^3 + 16c^4$.

д) Для разложения $(2x - 3y)^3$ используем формулу сокращенного умножения для куба разности: $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

В данном случае $A=2x$ и $B=3y$.

Подставим эти значения в формулу:

$(2x - 3y)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 - (3y)^3$

$(2x - 3y)^3 = 8x^3 - 3(4x^2)(3y) + 3(2x)(9y^2) - 27y^3$

$(2x - 3y)^3 = 8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3$

Ответ: $8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3$.

7 Докажите, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах.

Подсказка. Подставьте в формулу бинома Ньютона $a = 1$ и $b = -1$.

Для доказательства воспользуемся формулой бинома Ньютона для произвольной натуральной степени $n$:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n$

Здесь $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты. Члены в разложении бинома нумеруются по порядку, начиная с первого.

• Первый член (коэффициент $C_n^0$) стоит на нечётном, 1-м месте.
• Второй член (коэффициент $C_n^1$) стоит на чётном, 2-м месте.
• Третий член (коэффициент $C_n^2$) — снова на нечётном, 3-м месте, и так далее.

В общем случае, члену с коэффициентом $C_n^k$ соответствует $(k+1)$-е место.

Следовательно, биномиальные коэффициенты на нечётных местах имеют чётные индексы ($k=0, 2, 4, \dots$), а коэффициенты на чётных местах — нечётные индексы ($k=1, 3, 5, \dots$).

Нам необходимо доказать, что сумма коэффициентов на чётных местах равна сумме коэффициентов на нечётных местах. Математически это записывается как:

$C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots$

Следуя подсказке, подставим в формулу бинома Ньютона значения $a = 1$ и $b = -1$.

Левая часть формулы примет вид:

$(1 + (-1))^n = 0^n = 0$ (при $n \ge 1$).

Правая часть формулы после подстановки станет:

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k (1)^{n-k} (-1)^k = C_n^0(1)^n(-1)^0 + C_n^1(1)^{n-1}(-1)^1 + C_n^2(1)^{n-2}(-1)^2 + \dots + C_n^n(1)^0(-1)^n$

Поскольку $1$ в любой степени равен $1$, а $(-1)^k$ равен $1$ для чётных $k$ и $-1$ для нечётных $k$, разложение превращается в знакочередующуюся сумму коэффициентов:

$C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + \dots + (-1)^n C_n^n$

Приравняв левую и правую части, получаем равенство:

$0 = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + \dots$

Теперь перенесём все члены с отрицательными знаками (то есть коэффициенты с нечётными индексами $k$) в левую часть равенства, поменяв их знак:

$C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots$

В левой части этого равенства стоит сумма биномиальных коэффициентов, находящихся на чётных местах в разложении бинома, а в правой — сумма коэффициентов, находящихся на нечётных местах. Таким образом, их равенство доказано.

Ответ: Равенство $C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots$ доказывает, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах (для $n \ge 1$).