Страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

413 Дана геометрическая про-грессия:

a) 18; 6; 2; ... ;

б) $\frac{1}{18}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{2}$; ... .

Найдите $S_6$ и $S_n$.

Для решения задачи используется формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$. Формула имеет вид $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ или, что эквивалентно, $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

а) Дана прогрессия: 18; 6; 2; ...

1. Сначала найдем первый член и знаменатель данной геометрической прогрессии.
Первый член $b_1 = 18$.
Знаменатель $q$ найдем как отношение второго члена к первому: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.

2. Теперь вычислим сумму первых шести членов, $S_6$. Так как знаменатель $q = \frac{1}{3}$ меньше единицы, удобнее использовать формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Подставляем наши значения: $b_1 = 18$, $q = \frac{1}{3}$, $n = 6$.
$S_6 = \frac{18 \cdot (1 - (\frac{1}{3})^6)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18 \cdot (1 - \frac{1}{729})}{\frac{2}{3}} = \frac{18 \cdot (\frac{729-1}{729})}{\frac{2}{3}} = \frac{18 \cdot \frac{728}{729}}{\frac{2}{3}}$
$S_6 = 18 \cdot \frac{728}{729} \cdot \frac{3}{2} = \frac{18 \cdot 3 \cdot 728}{2 \cdot 729} = \frac{27 \cdot 728}{729} = \frac{728}{27}$.

3. Наконец, найдем формулу для суммы первых $n$ членов, $S_n$.
$S_n = \frac{18 \cdot (1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18 \cdot (1 - (\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{2} \cdot (1 - (\frac{1}{3})^n) = 27 \cdot (1 - \frac{1}{3^n})$.

Ответ: $S_6 = \frac{728}{27}$, $S_n = 27(1 - \frac{1}{3^n})$.

б) Дана прогрессия: $\frac{1}{18}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{2}$; ...

1. Найдем первый член и знаменатель прогрессии.
Первый член $b_1 = \frac{1}{18}$.
Знаменатель $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/6}{1/18} = \frac{1}{6} \cdot \frac{18}{1} = 3$.

2. Вычислим сумму первых шести членов, $S_6$. Так как знаменатель $q = 3$ больше единицы, удобнее использовать формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставляем значения: $b_1 = \frac{1}{18}$, $q = 3$, $n = 6$.
$S_6 = \frac{\frac{1}{18} \cdot (3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{1}{18} \cdot (729 - 1)}{2} = \frac{\frac{1}{18} \cdot 728}{2} = \frac{728}{18 \cdot 2} = \frac{728}{36}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$S_6 = \frac{728 \div 4}{36 \div 4} = \frac{182}{9}$.

3. Найдем формулу для суммы первых $n$ членов, $S_n$.
$S_n = \frac{\frac{1}{18} \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{1}{18} \cdot (3^n - 1)}{2} = \frac{3^n - 1}{36}$.

Ответ: $S_6 = \frac{182}{9}$, $S_n = \frac{3^n - 1}{36}$.

414 Запишите выражение для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $b_1 = 1; q = 6;$

б) $b_1 = 1; q = \frac{1}{2};$

в) $b_1 = \frac{1}{2}; q = -2.$

В каждом случае найдите $S_6$.

а) Для геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = 6$ выражение для суммы первых $n$ членов $S_n$ находится по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим данные значения:
$S_n = \frac{1 \cdot (6^n - 1)}{6 - 1} = \frac{6^n - 1}{5}$.
Теперь найдем сумму первых шести членов $S_6$, подставив $n=6$ в полученное выражение:
$S_6 = \frac{6^6 - 1}{5} = \frac{46656 - 1}{5} = \frac{46655}{5} = 9331$.
Ответ: выражение для суммы: $S_n = \frac{6^n - 1}{5}$; $S_6 = 9331$.

б) Для геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$ выражение для суммы первых $n$ членов $S_n$ удобнее находить по формуле $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Подставим данные значения:
$S_n = \frac{1 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}} = 2(1 - \frac{1}{2^n})$.
Теперь найдем сумму первых шести членов $S_6$, подставив $n=6$ в полученное выражение:
$S_6 = 2(1 - (\frac{1}{2})^6) = 2(1 - \frac{1}{64}) = 2(\frac{64-1}{64}) = 2 \cdot \frac{63}{64} = \frac{63}{32}$.
Ответ: выражение для суммы: $S_n = 2(1 - \frac{1}{2^n})$; $S_6 = \frac{63}{32}$.

в) Для геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \frac{1}{2}$ и знаменателем $q = -2$ выражение для суммы первых $n$ членов $S_n$ находится по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим данные значения:
$S_n = \frac{\frac{1}{2} \cdot ((-2)^n - 1)}{-2 - 1} = \frac{\frac{1}{2}((-2)^n - 1)}{-3} = \frac{(-2)^n - 1}{-6} = \frac{1 - (-2)^n}{6}$.
Теперь найдем сумму первых шести членов $S_6$, подставив $n=6$ в полученное выражение:
$S_6 = \frac{1 - (-2)^6}{6} = \frac{1 - 64}{6} = \frac{-63}{6} = -\frac{21}{2}$.
Ответ: выражение для суммы: $S_n = \frac{1 - (-2)^n}{6}$; $S_6 = -\frac{21}{2}$.

415 Выпишите первые пять членов геометрической прогрессии ($b_n$), заданной формулой $n$-го члена, и найдите их сумму:

a) $b_n = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

б) $b_n = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$

а)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, заданная формулой $n$-го члена $b_n = 6 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$.
Это стандартная формула вида $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.
Следовательно, для данной прогрессии $b_1 = 6$ и $q = \frac{2}{3}$.
Чтобы найти первые пять членов прогрессии, подставим в формулу значения $n$ от 1 до 5:
$b_1 = 6 \cdot (\frac{2}{3})^{1-1} = 6 \cdot (\frac{2}{3})^0 = 6 \cdot 1 = 6$
$b_2 = 6 \cdot (\frac{2}{3})^{2-1} = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$
$b_3 = 6 \cdot (\frac{2}{3})^{3-1} = 6 \cdot (\frac{2}{3})^2 = 6 \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$
$b_4 = 6 \cdot (\frac{2}{3})^{4-1} = 6 \cdot (\frac{2}{3})^3 = 6 \cdot \frac{8}{27} = \frac{48}{27} = \frac{16}{9}$
$b_5 = 6 \cdot (\frac{2}{3})^{5-1} = 6 \cdot (\frac{2}{3})^4 = 6 \cdot \frac{16}{81} = \frac{96}{81} = \frac{32}{27}$
Первые пять членов прогрессии: $6; 4; \frac{8}{3}; \frac{16}{9}; \frac{32}{27}$.
Для нахождения их суммы $S_5$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$S_5 = \frac{6 \cdot ((\frac{2}{3})^5 - 1)}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{6 \cdot (\frac{32}{243} - \frac{243}{243})}{-\frac{1}{3}} = \frac{6 \cdot (-\frac{211}{243})}{-\frac{1}{3}} = 6 \cdot \frac{211}{243} \cdot 3 = \frac{18 \cdot 211}{243} = \frac{2 \cdot 211}{27} = \frac{422}{27}$.
Результат можно представить в виде смешанной дроби: $15\frac{17}{27}$.
Ответ: первые пять членов: $6; 4; \frac{8}{3}; \frac{16}{9}; \frac{32}{27}$; их сумма: $\frac{422}{27}$.

б)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, заданная формулой $n$-го члена $b_n = -\frac{2}{81} \cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$.
Из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ следует, что первый член прогрессии $b_1 = -\frac{2}{81}$, а её знаменатель $q = \frac{3}{2}$.
Найдем первые пять членов прогрессии:
$b_1 = -\frac{2}{81} \cdot (\frac{3}{2})^{1-1} = -\frac{2}{81} \cdot 1 = -\frac{2}{81}$
$b_2 = -\frac{2}{81} \cdot (\frac{3}{2})^{2-1} = -\frac{2}{81} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{1}{27}$
$b_3 = -\frac{2}{81} \cdot (\frac{3}{2})^{3-1} = -\frac{2}{81} \cdot \frac{9}{4} = -\frac{1 \cdot 1}{9 \cdot 2} = -\frac{1}{18}$
$b_4 = -\frac{2}{81} \cdot (\frac{3}{2})^{4-1} = -\frac{2}{81} \cdot \frac{27}{8} = -\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 4} = -\frac{1}{12}$
$b_5 = -\frac{2}{81} \cdot (\frac{3}{2})^{5-1} = -\frac{2}{81} \cdot \frac{81}{16} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$
Первые пять членов прогрессии: $-\frac{2}{81}; -\frac{1}{27}; -\frac{1}{18}; -\frac{1}{12}; -\frac{1}{8}$.
Найдем их сумму $S_5$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$S_5 = \frac{-\frac{2}{81} \cdot ((\frac{3}{2})^5 - 1)}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{-\frac{2}{81} \cdot (\frac{243}{32} - 1)}{\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{2}{81} \cdot (\frac{243-32}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{2}{81} \cdot \frac{211}{32}}{\frac{1}{2}} = -\frac{2}{81} \cdot \frac{211}{32} \cdot 2 = -\frac{4 \cdot 211}{81 \cdot 32} = -\frac{211}{81 \cdot 8} = -\frac{211}{648}$.
Ответ: первые пять членов: $-\frac{2}{81}; -\frac{1}{27}; -\frac{1}{18}; -\frac{1}{12}; -\frac{1}{8}$; их сумма: $-\frac{211}{648}$.

416 a) В геометрической прогрессии $(b_n)$ $b_4 = \frac{1}{32}$, $q = \frac{1}{2}$. Найдите $S_8$.

б) Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если её пятый член равен $-9$, а знаменатель равен $-3$.

а)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, в которой четвертый член $b_4 = \frac{1}{32}$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Необходимо найти сумму первых восьми членов $S_8$.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения для $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

$\frac{1}{32} = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^3$

$\frac{1}{32} = b_1 \cdot \frac{1}{8}$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{1}{32} \cdot 8 = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

Теперь, зная $b_1$ и $q$, можем найти сумму первых восьми членов прогрессии по формуле:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Подставим $n=8$, $b_1 = \frac{1}{4}$ и $q = \frac{1}{2}$:

$S_8 = \frac{\frac{1}{4}(1 - (\frac{1}{2})^8)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{256})}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4}(\frac{256-1}{256})}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{255}{256}}{\frac{1}{2}}$

Выполним вычисления:

$S_8 = \frac{255}{4 \cdot 256} \cdot 2 = \frac{255}{2 \cdot 256} = \frac{255}{512}$

Ответ: $S_8 = \frac{255}{512}$.

б)

В геометрической прогрессии пятый член $b_5 = -9$, а знаменатель $q = -3$. Необходимо найти сумму первых пяти членов $S_5$.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения для $n=5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

$-9 = b_1 \cdot (-3)^4$

$-9 = b_1 \cdot 81$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{-9}{81} = -\frac{1}{9}$

Теперь найдем сумму первых пяти членов прогрессии по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Подставим $n=5$, $b_1 = -\frac{1}{9}$ и $q = -3$:

$S_5 = \frac{-\frac{1}{9}(1 - (-3)^5)}{1 - (-3)} = \frac{-\frac{1}{9}(1 - (-243))}{1 + 3} = \frac{-\frac{1}{9}(1 + 243)}{4} = \frac{-\frac{1}{9} \cdot 244}{4}$

Выполним вычисления:

$S_5 = -\frac{244}{9 \cdot 4} = -\frac{244}{36}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$S_5 = -\frac{61}{9}$

Ответ: $S_5 = -\frac{61}{9}$.

417 а) Знаменатель геометрической прогрессии равен $-5$, а сумма первых трёх её членов равна $-21$. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

б) Знаменатель геометрической прогрессии равен $\frac{1}{5}$, а сумма первых четырёх её членов равна $62\frac{2}{5}$. Найдите сумму первых двух членов этой прогрессии.

а)

Пусть $b_n$ – геометрическая прогрессия, $b_1$ – её первый член, а $q$ – знаменатель. Сумма первых $n$ членов прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$.

По условию, знаменатель прогрессии $q = -5$, а сумма первых трёх членов $S_3 = -21$.

Сумму первых шести членов $S_6$ можно представить как сумму первых трёх членов и следующих трёх членов:

$S_6 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 = (b_1 + b_2 + b_3) + (b_4 + b_5 + b_6)$.

Мы знаем, что $S_3 = b_1 + b_2 + b_3$.

Выразим члены с четвертого по шестой через первые три члена и знаменатель $q$:
$b_4 = b_1 \cdot q^3$
$b_5 = b_2 \cdot q^3$
$b_6 = b_3 \cdot q^3$

Следовательно, сумма этих членов равна:
$b_4 + b_5 + b_6 = b_1q^3 + b_2q^3 + b_3q^3 = q^3(b_1 + b_2 + b_3) = q^3 S_3$.

Таким образом, формула для $S_6$ принимает вид:
$S_6 = S_3 + q^3 S_3 = S_3(1 + q^3)$.

Подставим известные значения $S_3 = -21$ и $q = -5$ в полученную формулу:

$S_6 = -21 \cdot (1 + (-5)^3) = -21 \cdot (1 - 125) = -21 \cdot (-124) = 2604$.

Ответ: 2604.

б)

По условию, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{5}$, а сумма первых четырёх членов $S_4 = 62\frac{2}{5}$.

Требуется найти сумму первых двух членов $S_2$.

Используем тот же подход, что и в пункте а). Выразим $S_4$ через $S_2$:

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = (b_1 + b_2) + (b_3 + b_4)$.

Мы знаем, что $S_2 = b_1 + b_2$.

Выразим третий и четвертый члены через первые два:

$b_3 = b_1 \cdot q^2$
$b_4 = b_2 \cdot q^2$

Сумма этих членов равна:
$b_3 + b_4 = b_1q^2 + b_2q^2 = q^2(b_1 + b_2) = q^2 S_2$.

Таким образом, формула для $S_4$ принимает вид:
$S_4 = S_2 + q^2 S_2 = S_2(1 + q^2)$.

Из этой формулы выразим искомую сумму $S_2$:
$S_2 = \frac{S_4}{1 + q^2}$.

Сначала переведем смешанное число $S_4$ в неправильную дробь:
$S_4 = 62\frac{2}{5} = \frac{62 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{310 + 2}{5} = \frac{312}{5}$.

Теперь подставим известные значения $S_4$ и $q$ в формулу для $S_2$:

$S_2 = \frac{\frac{312}{5}}{1 + (\frac{1}{5})^2} = \frac{\frac{312}{5}}{1 + \frac{1}{25}} = \frac{\frac{312}{5}}{\frac{25}{25} + \frac{1}{25}} = \frac{\frac{312}{5}}{\frac{26}{25}}$.

Выполним деление дробей, умножив числитель на перевернутый знаменатель:

$S_2 = \frac{312}{5} \cdot \frac{25}{26} = \frac{312 \cdot 25}{5 \cdot 26} = \frac{312 \cdot 5}{26}$.

Разделим 312 на 26 ($312 \div 26 = 12$):

$S_2 = 12 \cdot 5 = 60$.

Ответ: 60.

418 a) Известны два члена геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_3 = 2$, $b_6 = -54$. Найдите $S_6$.

б) Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если известны два её члена: $b_2 = -8$, $b_8 = -\frac{1}{8}$.

а)

Даны два члена геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_3 = 2$ и $b_6 = -54$.
Чтобы найти сумму первых шести членов $S_6$, нам необходимо сначала найти первый член прогрессии $b_1$ и ее знаменатель $q$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Связь между $b_6$ и $b_3$ можно выразить как $b_6 = b_3 \cdot q^{6-3} = b_3 \cdot q^3$.

Подставим известные значения, чтобы найти знаменатель $q$:
$-54 = 2 \cdot q^3$
$q^3 = \frac{-54}{2} = -27$
$q = \sqrt[3]{-27} = -3$

Теперь найдем первый член $b_1$, используя формулу для $b_3$:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$
$2 = b_1 \cdot (-3)^2$
$2 = b_1 \cdot 9$
$b_1 = \frac{2}{9}$

Теперь мы можем найти сумму первых шести членов прогрессии по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим $n=6$, $b_1 = \frac{2}{9}$ и $q=-3$:
$S_6 = \frac{\frac{2}{9}((-3)^6 - 1)}{-3 - 1} = \frac{\frac{2}{9}(729 - 1)}{-4} = \frac{\frac{2}{9} \cdot 728}{-4}$
$S_6 = \frac{2 \cdot 728}{9 \cdot (-4)} = \frac{1456}{-36} = -\frac{364}{9}$

Ответ: $-\frac{364}{9}$.

б)

Даны два члена геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_2 = -8$ и $b_8 = -\frac{1}{8}$.
Требуется найти сумму первых восьми членов $S_8$.

Аналогично пункту а), найдем знаменатель $q$, используя связь между $b_8$ и $b_2$:
$b_8 = b_2 \cdot q^{8-2} = b_2 \cdot q^6$
Подставим известные значения:
$-\frac{1}{8} = -8 \cdot q^6$
$q^6 = \frac{-1/8}{-8} = \frac{1}{64}$

Это уравнение имеет два действительных решения для $q$:
$q = \sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$ или $q = -\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = -\frac{1}{2}$.
Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = \frac{1}{2}$.
Найдем $b_1$ из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$:
$-8 = b_1 \cdot \frac{1}{2} \implies b_1 = -16$.
Теперь найдем $S_8$:
$S_8 = \frac{b_1(q^8 - 1)}{q - 1} = \frac{-16((\frac{1}{2})^8 - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{-16(\frac{1}{256} - 1)}{-\frac{1}{2}} = 32(\frac{1-256}{256}) = 32 \cdot (-\frac{255}{256}) = -\frac{255}{8}$.

Случай 2: $q = -\frac{1}{2}$.
Найдем $b_1$ из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$:
$-8 = b_1 \cdot (-\frac{1}{2}) \implies b_1 = 16$.
Теперь найдем $S_8$:
$S_8 = \frac{b_1(q^8 - 1)}{q - 1} = \frac{16((-\frac{1}{2})^8 - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{16(\frac{1}{256} - 1)}{-\frac{3}{2}} = \frac{16(-\frac{255}{256})}{-\frac{3}{2}} = \frac{16 \cdot 255 \cdot 2}{256 \cdot 3} = \frac{32 \cdot 255}{256 \cdot 3} = \frac{255}{8 \cdot 3} = \frac{85}{8}$.

Таким образом, существуют две возможные прогрессии, удовлетворяющие условию, и, соответственно, два возможных значения для суммы.

Ответ: $-\frac{255}{8}$ или $\frac{85}{8}$.

419 Найдите значение выражения:

а) $4 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + 4 \cdot 3^9$;

б) $-3 - 6 - 12 - 24 - \dots - 3 \cdot 2^7$;

в) $1 - 2 + 4 - 8 + 16 \dots - 2^9$;

г) $3^0 - 3^1 + 3^2 - 3^3 + \dots + 3^{10}$.

а) $4 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + 4 \cdot 3^9$

Данное выражение представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$S = 4 \cdot (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^9)$

Выражение в скобках является суммой первых 10 членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 1$, знаменатель $q = 3$, а количество членов $n = 10$.

Формула суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Найдем сумму в скобках:

$S_{10} = \frac{1 \cdot (3^{10} - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{10} - 1}{2}$

Теперь найдем значение исходного выражения:

$S = 4 \cdot S_{10} = 4 \cdot \frac{3^{10} - 1}{2} = 2(3^{10} - 1)$

Вычислим $3^{10} = 59049$.

$S = 2(59049 - 1) = 2 \cdot 59048 = 118096$

Ответ: 118096

б) $-3 - 6 - 12 - 24 - \dots - 3 \cdot 2^7$

Вынесем общий множитель -3 за скобки:

$S = -3 \cdot (1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 2^7)$

Выражение в скобках является суммой первых 8 членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 1$, знаменатель $q = 2$, а количество членов $n = 8$ (так как степени от $2^0$ до $2^7$).

Используем формулу суммы геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Найдем сумму в скобках:

$S_8 = \frac{1 \cdot (2^8 - 1)}{2 - 1} = 2^8 - 1$

Вычислим $2^8 = 256$.

$S_8 = 256 - 1 = 255$

Теперь найдем значение исходного выражения:

$S = -3 \cdot S_8 = -3 \cdot 255 = -765$

Ответ: -765

в) $1 - 2 + 4 - 8 + 16 \dots - 2^9$

Данное выражение является суммой членов знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член $b_1 = 1$, знаменатель $q = \frac{-2}{1} = -2$.

Найдем количество членов прогрессии. Общий член прогрессии $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$. Последний член равен $-2^9$.

$1 \cdot (-2)^{n-1} = -2^9$

Отсюда следует, что $n-1 = 9$, а значит $n = 10$.

Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим значения $b_1=1, q=-2, n=10$:

$S_{10} = \frac{1 \cdot ((-2)^{10} - 1)}{-2 - 1} = \frac{2^{10} - 1}{-3}$

Вычислим $2^{10} = 1024$.

$S_{10} = \frac{1024 - 1}{-3} = \frac{1023}{-3} = -341$

Ответ: -341

г) $3^0 - 3^1 + 3^2 - 3^3 + \dots + 3^{10}$

Данное выражение является суммой членов знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член $b_1 = 3^0 = 1$, знаменатель $q = \frac{-3^1}{3^0} = -3$.

Найдем количество членов прогрессии. Общий член прогрессии $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$. Последний член равен $3^{10}$.

$1 \cdot (-3)^{n-1} = 3^{10}$

Так как $3^{10}$ — положительное число, показатель степени $n-1$ должен быть четным. Сравнивая основания, получаем $n-1=10$, откуда $n=11$.

Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим значения $b_1=1, q=-3, n=11$:

$S_{11} = \frac{1 \cdot ((-3)^{11} - 1)}{-3 - 1} = \frac{-3^{11} - 1}{-4} = \frac{3^{11} + 1}{4}$

Вычислим $3^{11} = 3 \cdot 3^{10} = 3 \cdot 59049 = 177147$.

$S_{11} = \frac{177147 + 1}{4} = \frac{177148}{4} = 44287$

Ответ: 44287

420 Определите, сколько зёрен пшеницы должен был отдать правитель из описанной легенды изобретателю шахмат (с. 150) за первую половину шахматной доски.

Согласно знаменитой легенде, изобретатель шахмат попросил у правителя в награду пшеничные зёрна. На первую клетку шахматной доски он попросил положить одно зерно, на вторую — два, на третью — четыре, и так далее, удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Стандартная шахматная доска имеет 64 клетки, поэтому её первая половина состоит из 32 клеток.

Решение

Количество зёрен на клетках доски представляет собой геометрическую прогрессию. Обозначим члены этой прогрессии как $b_1, b_2, b_3, \dots$

Первый член прогрессии (количество зёрен на 1-й клетке) $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q = 2$, так как количество зёрен на каждой следующей клетке удваивается.

Нам нужно найти сумму зёрен на первых 32 клетках, то есть сумму первых 32 членов геометрической прогрессии $S_{32}$.

Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим в формулу наши значения: $b_1 = 1$, $q = 2$, $n = 32$.

$S_{32} = \frac{1 \cdot (2^{32} - 1)}{2 - 1} = \frac{2^{32} - 1}{1} = 2^{32} - 1$

Теперь необходимо вычислить $2^{32}$.

$2^{10} = 1024$

$2^{32} = 2^2 \cdot 2^{30} = 4 \cdot (2^{10})^3 = 4 \cdot 1024^3$

Выполним вычисления:

$1024 \times 1024 = 1 \ 048 \ 576$

$1 \ 048 \ 576 \times 1024 = 1 \ 073 \ 741 \ 824$

$1 \ 073 \ 741 \ 824 \times 4 = 4 \ 294 \ 967 \ 296$

Таким образом, $2^{32} = 4 \ 294 \ 967 \ 296$.

Теперь мы можем найти итоговую сумму зёрен:

$S_{32} = 2^{32} - 1 = 4 \ 294 \ 967 \ 296 - 1 = 4 \ 294 \ 967 \ 295$

Ответ: правитель должен был отдать $4 \ 294 \ 967 \ 295$ (четыре миллиарда двести девяносто четыре миллиона девятьсот шестьдесят семь тысяч двести девяносто пять) зёрен пшеницы.

421 При поступлении на работу будущий сотрудник был ознакомлен с условиями оплаты: в первый год его годовой заработок составит 240 000 рублей, а затем в каждый следующий год будет увеличиваться в 1,1 раза по сравнению с предыдущим. Сотрудник планирует проработать на этом месте не менее 6 лет. Сколько он заработает за эти 6 лет? (Используйте калькулятор, ответ округлите до разряда тысяч.)

Годовой заработок сотрудника в каждый последующий год увеличивается в одно и то же число раз (в 1,1 раза), следовательно, последовательность годовых заработков представляет собой геометрическую прогрессию.

Для решения задачи определим параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $b_1$ (заработок за первый год) равен 240 000 рублей.
• Знаменатель прогрессии $q$ (коэффициент увеличения) равен 1,1.
• Количество лет $n$, за которые нужно посчитать общий заработок, равно 6.

Общий заработок за 6 лет — это сумма первых шести членов геометрической прогрессии ($S_6$). Для её нахождения воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим известные значения в формулу:$S_6 = \frac{240000 \cdot (1.1^6 - 1)}{1.1 - 1}$

Теперь проведем вычисления. Используя калькулятор, находим, что $1.1^6 \approx 1.771561$.$S_6 = \frac{240000 \cdot (1.771561 - 1)}{0.1} = \frac{240000 \cdot 0.771561}{0.1} = \frac{185174.64}{0.1} = 1851746.4$ рубля.

Согласно условию, полученный ответ необходимо округлить до разряда тысяч.Сумма составляет 1 851 746,4 рубля. Цифра в разряде сотен — 7. Так как 7 ≥ 5, округляем в большую сторону.$1851746.4 \approx 1852000$ рублей.

Ответ: 1 852 000 рублей.