Номер 417, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.5 Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 417, страница 152.

417 а) Знаменатель геометрической прогрессии равен $-5$, а сумма первых трёх её членов равна $-21$. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

б) Знаменатель геометрической прогрессии равен $\frac{1}{5}$, а сумма первых четырёх её членов равна $62\frac{2}{5}$. Найдите сумму первых двух членов этой прогрессии.

а)

Пусть $b_n$ – геометрическая прогрессия, $b_1$ – её первый член, а $q$ – знаменатель. Сумма первых $n$ членов прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$.

По условию, знаменатель прогрессии $q = -5$, а сумма первых трёх членов $S_3 = -21$.

Сумму первых шести членов $S_6$ можно представить как сумму первых трёх членов и следующих трёх членов:

$S_6 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 = (b_1 + b_2 + b_3) + (b_4 + b_5 + b_6)$.

Мы знаем, что $S_3 = b_1 + b_2 + b_3$.

Выразим члены с четвертого по шестой через первые три члена и знаменатель $q$:
$b_4 = b_1 \cdot q^3$
$b_5 = b_2 \cdot q^3$
$b_6 = b_3 \cdot q^3$

Следовательно, сумма этих членов равна:
$b_4 + b_5 + b_6 = b_1q^3 + b_2q^3 + b_3q^3 = q^3(b_1 + b_2 + b_3) = q^3 S_3$.

Таким образом, формула для $S_6$ принимает вид:
$S_6 = S_3 + q^3 S_3 = S_3(1 + q^3)$.

Подставим известные значения $S_3 = -21$ и $q = -5$ в полученную формулу:

$S_6 = -21 \cdot (1 + (-5)^3) = -21 \cdot (1 - 125) = -21 \cdot (-124) = 2604$.

Ответ: 2604.

б)

По условию, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{5}$, а сумма первых четырёх членов $S_4 = 62\frac{2}{5}$.

Требуется найти сумму первых двух членов $S_2$.

Используем тот же подход, что и в пункте а). Выразим $S_4$ через $S_2$:

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = (b_1 + b_2) + (b_3 + b_4)$.

Мы знаем, что $S_2 = b_1 + b_2$.

Выразим третий и четвертый члены через первые два:

$b_3 = b_1 \cdot q^2$
$b_4 = b_2 \cdot q^2$

Сумма этих членов равна:
$b_3 + b_4 = b_1q^2 + b_2q^2 = q^2(b_1 + b_2) = q^2 S_2$.

Таким образом, формула для $S_4$ принимает вид:
$S_4 = S_2 + q^2 S_2 = S_2(1 + q^2)$.

Из этой формулы выразим искомую сумму $S_2$:
$S_2 = \frac{S_4}{1 + q^2}$.

Сначала переведем смешанное число $S_4$ в неправильную дробь:
$S_4 = 62\frac{2}{5} = \frac{62 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{310 + 2}{5} = \frac{312}{5}$.

Теперь подставим известные значения $S_4$ и $q$ в формулу для $S_2$:

$S_2 = \frac{\frac{312}{5}}{1 + (\frac{1}{5})^2} = \frac{\frac{312}{5}}{1 + \frac{1}{25}} = \frac{\frac{312}{5}}{\frac{25}{25} + \frac{1}{25}} = \frac{\frac{312}{5}}{\frac{26}{25}}$.

Выполним деление дробей, умножив числитель на перевернутый знаменатель:

$S_2 = \frac{312}{5} \cdot \frac{25}{26} = \frac{312 \cdot 25}{5 \cdot 26} = \frac{312 \cdot 5}{26}$.

Разделим 312 на 26 ($312 \div 26 = 12$):

$S_2 = 12 \cdot 5 = 60$.

Ответ: 60.