Номер 411, страница 149 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.4 Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 411, страница 149.

411 Середины сторон прямоугольника соединили отрезками и получили ромб. Середины сторон ромба соединили отрезками и получили прямоугольник и т.д. (рис. 4.13).

1) Чему равно отношение площадей двух соседних фигур (последующей и предыдущей)?

2) Какой фигурой — прямоугольником или ромбом является восьмой по счёту четырёхугольник? Если его площадь равна $3/4 \text{ см}^2$, то чему равна площадь исходного прямоугольника?

3) Площадь какого по счёту четырёхугольника равна $6 \text{ см}^2$? Какая это фигура — прямоугольник или ромб?

Рис. 4.13

1) Чему равно отношение площадей двух соседних фигур (последующей и предыдущей)?

Рассмотрим первый шаг: переход от прямоугольника к ромбу. Пусть стороны исходного прямоугольника равны $a$ и $b$. Его площадь $S_1 = a \cdot b$. Четырёхугольник, полученный соединением середин сторон прямоугольника, является ромбом. Его диагонали параллельны сторонам прямоугольника и равны им по длине, то есть $d_1 = a$ и $d_2 = b$. Площадь этого ромба $S_2 = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} a b$.

Отношение площади последующей фигуры (ромба) к предыдущей (прямоугольнику) равно:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{1}{2}ab}{ab} = \frac{1}{2}$

Рассмотрим второй шаг: переход от ромба к прямоугольнику. Пусть диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$. Его площадь $S_{ромб} = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Четырёхугольник, полученный соединением середин сторон ромба, является прямоугольником. Его стороны параллельны диагоналям ромба и равны их половинам, то есть $a_{нов} = \frac{d_1}{2}$ и $b_{нов} = \frac{d_2}{2}$. Площадь нового прямоугольника $S_{прям} = a_{нов} \cdot b_{нов} = \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} = \frac{d_1 d_2}{4}$.

Отношение площади последующей фигуры (нового прямоугольника) к предыдущей (ромбу) равно:

$\frac{S_{прям}}{S_{ромб}} = \frac{\frac{d_1 d_2}{4}}{\frac{1}{2}d_1 d_2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, на каждом шаге площадь новой фигуры в два раза меньше площади предыдущей. Отношение площадей двух соседних фигур (последующей и предыдущей) всегда равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: Отношение равно $\frac{1}{2}$.

2) Какой фигурой — прямоугольником или ромбом является восьмой по счёту четырёхугольник? Если его площадь равна $\frac{3}{4}$ см², то чему равна площадь исходного прямоугольника?

Последовательность фигур такова: 1-я фигура — прямоугольник, 2-я — ромб, 3-я — прямоугольник, 4-я — ромб и так далее. Фигуры с нечётными номерами являются прямоугольниками, а с чётными — ромбами. Поскольку номер 8 является чётным числом, восьмой по счёту четырёхугольник — это ромб.

Площади фигур образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Площадь $n$-й фигуры $S_n$ связана с площадью исходного прямоугольника $S_1$ формулой $S_n = S_1 \cdot q^{n-1}$.

Для восьмого четырёхугольника ($n=8$) имеем:

$S_8 = S_1 \cdot (\frac{1}{2})^{8-1} = S_1 \cdot (\frac{1}{2})^7 = S_1 \cdot \frac{1}{128}$

По условию, $S_8 = \frac{3}{4}$ см². Подставим это значение в формулу:

$\frac{3}{4} = S_1 \cdot \frac{1}{128}$

Отсюда найдём площадь исходного прямоугольника $S_1$:

$S_1 = \frac{3}{4} \cdot 128 = 3 \cdot \frac{128}{4} = 3 \cdot 32 = 96$ см².

Ответ: Восьмой четырёхугольник является ромбом; площадь исходного прямоугольника равна 96 см².

3) Площадь какого по счёту четырёхугольника равна 6 см²? Какая это фигура — прямоугольник или ромб?

Будем исходить из того, что площадь исходного прямоугольника $S_1 = 96$ см², как было найдено в предыдущем пункте. Нам нужно найти номер $n$ фигуры, площадь которой $S_n = 6$ см². Воспользуемся той же формулой геометрической прогрессии:

$S_n = S_1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Подставим известные значения:

$6 = 96 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Выразим $(\frac{1}{2})^{n-1}$:

$(\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{6}{96} = \frac{1}{16}$

Поскольку $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$. Таким образом, мы имеем равенство:

$(\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{2})^4$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$n-1 = 4$

$n = 5$

Следовательно, пятый по счёту четырёхугольник имеет площадь 6 см². Так как номер 5 — нечётное число, эта фигура является прямоугольником.

Ответ: Пятый по счёту четырёхугольник; это прямоугольник.