Номер 409, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.4 Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 409, страница 148.

409 Три фирмы A, B и C одновременно начали свою деятельность, и в первый год доход каждой составил 4 млн р. В последующие четыре года их доход рос так:

в фирме A доход ежегодно увеличивался на 1 млн р., в фирме B ежегодно возрастал в 1,8 раза, в фирме C ежегодно увеличивался в 1,5 раза. Какой из графиков соответствует каждой из этих ситуаций (рис. 4.11)? Задайте каждую последовательность роста доходов с помощью формулы n-го члена.

Для решения задачи проанализируем рост дохода каждой фирмы и сопоставим его с представленными графиками.

Начальное условие для всех фирм: доход в первый год ($n=1$) составляет 4 млн р.

в фирме A

Доход ежегодно увеличивался на 1 млн р. Это означает, что последовательность годовых доходов представляет собой арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $a_1 = 4$, а разность $d = 1$.
Найдем доходы за первые 5 лет:
1-й год: $a_1 = 4$ млн р.
2-й год: $a_2 = 4 + 1 = 5$ млн р.
3-й год: $a_3 = 5 + 1 = 6$ млн р.
4-й год: $a_4 = 6 + 1 = 7$ млн р.
5-й год: $a_5 = 7 + 1 = 8$ млн р.
Такой линейный рост соответствует графику (1), который является прямой линией. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив наши значения, получаем: $a_n = 4 + (n-1) \cdot 1 = 4 + n - 1 = n + 3$.
Ответ: График (1), формула $a_n = n + 3$.

в фирме B

Доход ежегодно возрастал в 1,8 раза. Это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = 4$, а знаменатель прогрессии $q = 1,8$.
Найдем доходы за первые несколько лет:
1-й год: $b_1 = 4$ млн р.
2-й год: $b_2 = 4 \cdot 1,8 = 7,2$ млн р.
3-й год: $b_3 = 7,2 \cdot 1,8 = 12,96$ млн р.
4-й год: $b_4 = 12,96 \cdot 1,8 \approx 23,33$ млн р.
Рост дохода экспоненциальный и самый быстрый из всех трех фирм, так как коэффициент роста (1,8) наибольший. Этому соответствует самая крутая кривая на рисунке — график (3). Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставив наши значения, получаем: $b_n = 4 \cdot 1,8^{n-1}$.
Ответ: График (3), формула $b_n = 4 \cdot 1,8^{n-1}$.

в фирме C

Доход ежегодно увеличивался в 1,5 раза. Это также геометрическая прогрессия с первым членом $c_1 = 4$ и знаменателем $q = 1,5$.
Найдем доходы за первые 5 лет:
1-й год: $c_1 = 4$ млн р.
2-й год: $c_2 = 4 \cdot 1,5 = 6$ млн р.
3-й год: $c_3 = 6 \cdot 1,5 = 9$ млн р.
4-й год: $c_4 = 9 \cdot 1,5 = 13,5$ млн р.
5-й год: $c_5 = 13,5 \cdot 1,5 = 20,25$ млн р.
Рост также экспоненциальный, но медленнее, чем у фирмы B (так как $1,5 < 1,8$), и быстрее, чем у фирмы A. Этим точкам и характеру роста соответствует график (2). Формула n-го члена геометрической прогрессии: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставив наши значения, получаем: $c_n = 4 \cdot 1,5^{n-1}$.
Ответ: График (2), формула $c_n = 4 \cdot 1,5^{n-1}$.