Номер 405, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.4 Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 405, страница 148.

405 Запишите формулу n-го члена каждой последовательности и определите, является ли она арифметической или геометрической прогрессией:

а) последовательность натуральных степеней числа 3;

б) последовательность кубов натуральных чисел;

в) последовательность натуральных чисел, кратных 7;

г) последовательность натуральных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 4.

а) последовательность натуральных степеней числа 3

Данная последовательность состоит из чисел вида $3^n$, где $n$ — натуральное число ($n = 1, 2, 3, ...$).

Первые члены последовательности: $a_1 = 3^1 = 3$, $a_2 = 3^2 = 9$, $a_3 = 3^3 = 27$, и так далее.

Формула $n$-го члена последовательности: $a_n = 3^n$.

Чтобы определить тип прогрессии, проверим разность и отношение соседних членов.

Проверка на арифметическую прогрессию (постоянство разности $d$):

$a_2 - a_1 = 9 - 3 = 6$

$a_3 - a_2 = 27 - 9 = 18$

Так как разность не является постоянной ($6 \neq 18$), это не арифметическая прогрессия.

Проверка на геометрическую прогрессию (постоянство знаменателя $q$):

$a_2 / a_1 = 9 / 3 = 3$

$a_3 / a_2 = 27 / 9 = 3$

Отношение постоянно и равно 3. Следовательно, это геометрическая прогрессия.

Ответ: Формула $n$-го члена: $a_n = 3^n$. Последовательность является геометрической прогрессией.

б) последовательность кубов натуральных чисел

Данная последовательность состоит из кубов натуральных чисел $n^3$, где $n = 1, 2, 3, ...$ .

Первые члены последовательности: $a_1 = 1^3 = 1$, $a_2 = 2^3 = 8$, $a_3 = 3^3 = 27$, и так далее.

Формула $n$-го члена последовательности: $a_n = n^3$.

Проверим, является ли она арифметической или геометрической прогрессией.

Проверка на арифметическую прогрессию:

$a_2 - a_1 = 8 - 1 = 7$

$a_3 - a_2 = 27 - 8 = 19$

Разность не постоянна ($7 \neq 19$), значит, это не арифметическая прогрессия.

Проверка на геометрическую прогрессию:

$a_2 / a_1 = 8 / 1 = 8$

$a_3 / a_2 = 27 / 8$

Отношение не постоянно ($8 \neq 27/8$), значит, это не геометрическая прогрессия.

Ответ: Формула $n$-го члена: $a_n = n^3$. Последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией.

в) последовательность натуральных чисел, кратных 7

Данная последовательность состоит из натуральных чисел, которые делятся на 7. Такие числа можно представить в виде $7n$, где $n = 1, 2, 3, ...$ .

Первые члены последовательности: $a_1 = 7 \cdot 1 = 7$, $a_2 = 7 \cdot 2 = 14$, $a_3 = 7 \cdot 3 = 21$, и так далее.

Формула $n$-го члена последовательности: $a_n = 7n$.

Проверим, является ли она арифметической или геометрической прогрессией.

Проверка на арифметическую прогрессию:

$a_2 - a_1 = 14 - 7 = 7$

$a_3 - a_2 = 21 - 14 = 7$

Разность постоянна и равна 7. Следовательно, это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=7$ и разностью $d=7$.

Проверка на геометрическую прогрессию:

$a_2 / a_1 = 14 / 7 = 2$

$a_3 / a_2 = 21 / 14 = 1.5$

Отношение не постоянно ($2 \neq 1.5$), значит, это не геометрическая прогрессия.

Ответ: Формула $n$-го члена: $a_n = 7n$. Последовательность является арифметической прогрессией.

г) последовательность натуральных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 4

Числа, которые при делении на 7 дают в остатке 4, можно представить формулой $a_n = 7k + 4$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$).

Первые члены последовательности:

При $k=0$, $a_1 = 7 \cdot 0 + 4 = 4$

При $k=1$, $a_2 = 7 \cdot 1 + 4 = 11$

При $k=2$, $a_3 = 7 \cdot 2 + 4 = 18$

Для $n$-го члена последовательности значение $k$ равно $n-1$. Подставим это в формулу: $a_n = 7(n-1) + 4 = 7n - 7 + 4 = 7n - 3$.

Итак, формула $n$-го члена: $a_n = 7n - 3$.

Проверим, является ли она арифметической или геометрической прогрессией.

Проверка на арифметическую прогрессию:

$a_2 - a_1 = 11 - 4 = 7$

$a_3 - a_2 = 18 - 11 = 7$

Разность постоянна и равна 7. Следовательно, это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=4$ и разностью $d=7$.

Проверка на геометрическую прогрессию:

$a_2 / a_1 = 11 / 4$

$a_3 / a_2 = 18 / 11$

Отношение не постоянно, значит, это не геометрическая прогрессия.

Ответ: Формула $n$-го члена: $a_n = 7n - 3$. Последовательность является арифметической прогрессией.