Номер 403, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.4 Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 403, страница 148.

403 а) Между числами $3$ и $27$ вставьте три числа так, чтобы вместе с данными они образовывали геометрическую прогрессию. Сколько решений имеет задача?

б) Между числами $0,2$ и $12,8$ вставьте два числа так, чтобы вместе с данными они образовывали геометрическую прогрессию. Сколько решений имеет задача?

а)

Пусть искомая геометрическая прогрессия $(b_n)$ состоит из 5 членов, где первый член $b_1 = 3$, а пятый член $b_5 = 27$. Нам необходимо найти второй, третий и четвертый члены прогрессии: $b_2, b_3, b_4$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ - знаменатель прогрессии.

Применим эту формулу для пятого члена прогрессии:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$

$27 = 3 \cdot q^4$

Чтобы найти $q$, разделим обе части уравнения на 3:

$q^4 = \frac{27}{3}$

$q^4 = 9$

Так как показатель степени четный (4), уравнение имеет два действительных корня:

$q_1 = \sqrt[4]{9} = \sqrt{3}$

$q_2 = -\sqrt[4]{9} = -\sqrt{3}$

Поскольку существует два возможных значения знаменателя $q$, задача имеет два решения.

Решение 1. При $q = \sqrt{3}$:

$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

$b_3 = b_2 \cdot q = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$

$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

Искомые числа: $3\sqrt{3}, 9, 9\sqrt{3}$. Прогрессия: 3; $3\sqrt{3}$; 9; $9\sqrt{3}$; 27.

Решение 2. При $q = -\sqrt{3}$:

$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot (-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3}$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-3\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) = 9$

$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot (-\sqrt{3}) = -9\sqrt{3}$

Искомые числа: $-3\sqrt{3}, 9, -9\sqrt{3}$. Прогрессия: 3; $-3\sqrt{3}$; 9; $-9\sqrt{3}$; 27.

Ответ: задача имеет два решения. Вставленные числа: $3\sqrt{3}, 9, 9\sqrt{3}$ или $-3\sqrt{3}, 9, -9\sqrt{3}$.

б)

В этом случае геометрическая прогрессия $(b_n)$ будет состоять из 4 членов. Первый член $b_1 = 0,2$, а четвертый член $b_4 = 12,8$. Нам нужно найти второй и третий члены прогрессии: $b_2, b_3$.

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для четвертого члена прогрессии:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$

$12,8 = 0,2 \cdot q^3$

Найдем $q^3$:

$q^3 = \frac{12,8}{0,2} = \frac{128}{2} = 64$

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$q = \sqrt[3]{64} = 4$

Так как показатель степени нечетный (3), уравнение имеет только один действительный корень. Следовательно, задача имеет одно решение.

Теперь найдем искомые числа:

$b_2 = b_1 \cdot q = 0,2 \cdot 4 = 0,8$

$b_3 = b_2 \cdot q = 0,8 \cdot 4 = 3,2$

Прогрессия: 0,2; 0,8; 3,2; 12,8.

Ответ: задача имеет одно решение. Вставленные числа: 0,8 и 3,2.