Номер 406, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.4 Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 406, страница 148.

406 Является ли арифметической или геометрической прогрессией последовательность:

а) $b$; $b^2$; $b^3$; $b^4$; ..., $b \neq 0$;

б) $b$; $2b$; $3b$; $4b$; $5b$; ..., $b \neq 0$;

в) $b$; $b + 1$; $b + 2$; $b + 3$; ...;

г) $b$; $ab$; $a^2b$; $a^3b$; $a^4b$; ..., $b \neq 0$, $a \neq 0$?

а) $b; b^2; b^3; b^4; \dots$ , $b \ne 0$

Чтобы определить, является ли последовательность арифметической, нужно проверить, постоянна ли разность между её соседними членами. Обозначим члены последовательности $x_1=b$, $x_2=b^2$, $x_3=b^3$.
Найдем разности:
$d_1 = x_2 - x_1 = b^2 - b = b(b-1)$
$d_2 = x_3 - x_2 = b^3 - b^2 = b^2(b-1)$

Разность будет постоянной ($d_1 = d_2$), если $b(b-1) = b^2(b-1)$. Это равенство выполняется при $b=1$ (тогда разность равна 0) или при $b=0$, что противоречит условию. Таким образом, последовательность является арифметической только в частном случае при $b=1$.

Чтобы определить, является ли последовательность геометрической, нужно проверить, постоянно ли отношение её соседних членов.
Найдем отношения:
$q_1 = \frac{x_2}{x_1} = \frac{b^2}{b} = b$
$q_2 = \frac{x_3}{x_2} = \frac{b^3}{b^2} = b$

Отношение постоянно и равно $b$. Поскольку по условию $b \ne 0$, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=b$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией.

б) $2b; 3b; 4b; 5b; \dots$ , $b \ne 0$

Обозначим члены последовательности $x_1=2b$, $x_2=3b$, $x_3=4b$.
Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Найдем разность соседних членов:
$d_1 = x_2 - x_1 = 3b - 2b = b$
$d_2 = x_3 - x_2 = 4b - 3b = b$

Разность постоянна и равна $b$. Следовательно, это арифметическая прогрессия с разностью $d=b$.

Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Найдем отношение соседних членов:
$q_1 = \frac{x_2}{x_1} = \frac{3b}{2b} = \frac{3}{2}$
$q_2 = \frac{x_3}{x_2} = \frac{4b}{3b} = \frac{4}{3}$

Отношения не равны ($\frac{3}{2} \ne \frac{4}{3}$), поэтому последовательность не является геометрической.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией.

в) $b; b + 1; b + 2; b + 3; \dots$

Обозначим члены последовательности $x_1=b$, $x_2=b+1$, $x_3=b+2$.
Проверим на арифметическую прогрессию:
$d_1 = x_2 - x_1 = (b+1) - b = 1$
$d_2 = x_3 - x_2 = (b+2) - (b+1) = 1$

Разность постоянна и равна 1. Следовательно, это арифметическая прогрессия с разностью $d=1$.

Проверим на геометрическую прогрессию:
$q_1 = \frac{x_2}{x_1} = \frac{b+1}{b}$
$q_2 = \frac{x_3}{x_2} = \frac{b+2}{b+1}$

Чтобы последовательность была геометрической, должно выполняться равенство $q_1=q_2$: $\frac{b+1}{b} = \frac{b+2}{b+1}$.
$(b+1)^2 = b(b+2)$
$b^2 + 2b + 1 = b^2 + 2b$
$1 = 0$
Получено неверное равенство, значит, последовательность не может быть геометрической ни при каком значении $b$.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией.

г) $b; ab; a^2b; a^3b; a^4b; \dots$ , $b \ne 0, a \ne 0$

Обозначим члены последовательности $x_1=b$, $x_2=ab$, $x_3=a^2b$.
Проверим на арифметическую прогрессию:
$d_1 = x_2 - x_1 = ab - b = b(a-1)$
$d_2 = x_3 - x_2 = a^2b - ab = ab(a-1)$

Разность будет постоянной, если $b(a-1) = ab(a-1)$. Учитывая, что $b \ne 0$, это равенство выполняется при $a-1=0$ (т.е. $a=1$) или при $a=1$. В случае $a=1$ последовательность становится $b; b; b; \dots$ и является арифметической с разностью $d=0$. В общем случае она не является арифметической.

Проверим на геометрическую прогрессию:
$q_1 = \frac{x_2}{x_1} = \frac{ab}{b} = a$
$q_2 = \frac{x_3}{x_2} = \frac{a^2b}{ab} = a$

Отношение постоянно и равно $a$. Поскольку по условию $a \ne 0$, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=a$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией.