Номер 401, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.4 Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 401, страница 148.

401 Последовательность $(y_n)$ – геометрическая прогрессия. Найдите:

а) $y_8$ и $y_{11}$, если $y_1 = \frac{1}{81}$ и $q = 3$;

б) $y_6$ и $y_9$, если $y_1 = 256$ и $q = \frac{1}{2}$;

в) $y_7$ и $y_{10}$, если $y_1 = \frac{3}{8}$ и $q = -2$;

г) $y_3$ и $y_6$, если $y_1 = -18$ и $q = -\frac{1}{3}$.

Для решения задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии: $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$, где $y_1$ – первый член прогрессии, $q$ – знаменатель прогрессии.

а) y₈ и y₁₁, если y₁ = 1/81 и q = 3;
Для нахождения восьмого члена прогрессии ($y_8$) подставим данные в формулу:
$y_8 = y_1 \cdot q^{8-1} = y_1 \cdot q^7 = \frac{1}{81} \cdot 3^7$.
Поскольку $81 = 3^4$, получаем:
$y_8 = \frac{1}{3^4} \cdot 3^7 = 3^{7-4} = 3^3 = 27$.
Аналогично находим одиннадцатый член ($y_{11}$):
$y_{11} = y_1 \cdot q^{11-1} = y_1 \cdot q^{10} = \frac{1}{81} \cdot 3^{10} = \frac{1}{3^4} \cdot 3^{10} = 3^{10-4} = 3^6 = 729$.
Ответ: $y_8 = 27$, $y_{11} = 729$.

б) y₆ и y₉, если y₁ = 256 и q = 1/2;
Находим шестой член прогрессии ($y_6$):
$y_6 = y_1 \cdot q^{6-1} = y_1 \cdot q^5 = 256 \cdot (\frac{1}{2})^5$.
Поскольку $256 = 2^8$, получаем:
$y_6 = 2^8 \cdot \frac{1}{2^5} = 2^{8-5} = 2^3 = 8$.
Находим девятый член ($y_9$):
$y_9 = y_1 \cdot q^{9-1} = y_1 \cdot q^8 = 256 \cdot (\frac{1}{2})^8 = 2^8 \cdot \frac{1}{2^8} = 1$.
Ответ: $y_6 = 8$, $y_9 = 1$.

в) y₇ и y₁₀, если y₁ = 3/8 и q = -2;
Находим седьмой член прогрессии ($y_7$):
$y_7 = y_1 \cdot q^{7-1} = y_1 \cdot q^6 = \frac{3}{8} \cdot (-2)^6$.
Поскольку $(-2)^6 = 64$, получаем:
$y_7 = \frac{3}{8} \cdot 64 = 3 \cdot \frac{64}{8} = 3 \cdot 8 = 24$.
Находим десятый член ($y_{10}$):
$y_{10} = y_1 \cdot q^{10-1} = y_1 \cdot q^9 = \frac{3}{8} \cdot (-2)^9 = \frac{3}{8} \cdot (-512) = 3 \cdot (-\frac{512}{8}) = 3 \cdot (-64) = -192$.
Ответ: $y_7 = 24$, $y_{10} = -192$.

г) y₃ и y₆, если y₁ = -18 и q = -1/3.
Находим третий член прогрессии ($y_3$):
$y_3 = y_1 \cdot q^{3-1} = y_1 \cdot q^2 = -18 \cdot (-\frac{1}{3})^2 = -18 \cdot \frac{1}{9} = -2$.
Находим шестой член ($y_6$):
$y_6 = y_1 \cdot q^{6-1} = y_1 \cdot q^5 = -18 \cdot (-\frac{1}{3})^5 = -18 \cdot (-\frac{1}{243}) = \frac{18}{243}$.
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
$y_6 = \frac{18 \div 9}{243 \div 9} = \frac{2}{27}$.
Ответ: $y_3 = -2$, $y_6 = \frac{2}{27}$.