Номер 413, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.5 Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 413, страница 152.

413 Дана геометрическая про-грессия:

a) 18; 6; 2; ... ;

б) $\frac{1}{18}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{2}$; ... .

Найдите $S_6$ и $S_n$.

Для решения задачи используется формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$. Формула имеет вид $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ или, что эквивалентно, $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

а) Дана прогрессия: 18; 6; 2; ...

1. Сначала найдем первый член и знаменатель данной геометрической прогрессии.
Первый член $b_1 = 18$.
Знаменатель $q$ найдем как отношение второго члена к первому: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.

2. Теперь вычислим сумму первых шести членов, $S_6$. Так как знаменатель $q = \frac{1}{3}$ меньше единицы, удобнее использовать формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Подставляем наши значения: $b_1 = 18$, $q = \frac{1}{3}$, $n = 6$.
$S_6 = \frac{18 \cdot (1 - (\frac{1}{3})^6)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18 \cdot (1 - \frac{1}{729})}{\frac{2}{3}} = \frac{18 \cdot (\frac{729-1}{729})}{\frac{2}{3}} = \frac{18 \cdot \frac{728}{729}}{\frac{2}{3}}$
$S_6 = 18 \cdot \frac{728}{729} \cdot \frac{3}{2} = \frac{18 \cdot 3 \cdot 728}{2 \cdot 729} = \frac{27 \cdot 728}{729} = \frac{728}{27}$.

3. Наконец, найдем формулу для суммы первых $n$ членов, $S_n$.
$S_n = \frac{18 \cdot (1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18 \cdot (1 - (\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{2} \cdot (1 - (\frac{1}{3})^n) = 27 \cdot (1 - \frac{1}{3^n})$.

Ответ: $S_6 = \frac{728}{27}$, $S_n = 27(1 - \frac{1}{3^n})$.

б) Дана прогрессия: $\frac{1}{18}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{2}$; ...

1. Найдем первый член и знаменатель прогрессии.
Первый член $b_1 = \frac{1}{18}$.
Знаменатель $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/6}{1/18} = \frac{1}{6} \cdot \frac{18}{1} = 3$.

2. Вычислим сумму первых шести членов, $S_6$. Так как знаменатель $q = 3$ больше единицы, удобнее использовать формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставляем значения: $b_1 = \frac{1}{18}$, $q = 3$, $n = 6$.
$S_6 = \frac{\frac{1}{18} \cdot (3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{1}{18} \cdot (729 - 1)}{2} = \frac{\frac{1}{18} \cdot 728}{2} = \frac{728}{18 \cdot 2} = \frac{728}{36}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$S_6 = \frac{728 \div 4}{36 \div 4} = \frac{182}{9}$.

3. Найдем формулу для суммы первых $n$ членов, $S_n$.
$S_n = \frac{\frac{1}{18} \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{1}{18} \cdot (3^n - 1)}{2} = \frac{3^n - 1}{36}$.

Ответ: $S_6 = \frac{182}{9}$, $S_n = \frac{3^n - 1}{36}$.