Номер 414, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.5 Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 414, страница 152.

414 Запишите выражение для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $b_1 = 1; q = 6;$

б) $b_1 = 1; q = \frac{1}{2};$

в) $b_1 = \frac{1}{2}; q = -2.$

В каждом случае найдите $S_6$.

а) Для геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = 6$ выражение для суммы первых $n$ членов $S_n$ находится по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим данные значения:
$S_n = \frac{1 \cdot (6^n - 1)}{6 - 1} = \frac{6^n - 1}{5}$.
Теперь найдем сумму первых шести членов $S_6$, подставив $n=6$ в полученное выражение:
$S_6 = \frac{6^6 - 1}{5} = \frac{46656 - 1}{5} = \frac{46655}{5} = 9331$.
Ответ: выражение для суммы: $S_n = \frac{6^n - 1}{5}$; $S_6 = 9331$.

б) Для геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$ выражение для суммы первых $n$ членов $S_n$ удобнее находить по формуле $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Подставим данные значения:
$S_n = \frac{1 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}} = 2(1 - \frac{1}{2^n})$.
Теперь найдем сумму первых шести членов $S_6$, подставив $n=6$ в полученное выражение:
$S_6 = 2(1 - (\frac{1}{2})^6) = 2(1 - \frac{1}{64}) = 2(\frac{64-1}{64}) = 2 \cdot \frac{63}{64} = \frac{63}{32}$.
Ответ: выражение для суммы: $S_n = 2(1 - \frac{1}{2^n})$; $S_6 = \frac{63}{32}$.

в) Для геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \frac{1}{2}$ и знаменателем $q = -2$ выражение для суммы первых $n$ членов $S_n$ находится по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим данные значения:
$S_n = \frac{\frac{1}{2} \cdot ((-2)^n - 1)}{-2 - 1} = \frac{\frac{1}{2}((-2)^n - 1)}{-3} = \frac{(-2)^n - 1}{-6} = \frac{1 - (-2)^n}{6}$.
Теперь найдем сумму первых шести членов $S_6$, подставив $n=6$ в полученное выражение:
$S_6 = \frac{1 - (-2)^6}{6} = \frac{1 - 64}{6} = \frac{-63}{6} = -\frac{21}{2}$.
Ответ: выражение для суммы: $S_n = \frac{1 - (-2)^n}{6}$; $S_6 = -\frac{21}{2}$.