Номер 416, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.5 Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 416, страница 152.

416 a) В геометрической прогрессии $(b_n)$ $b_4 = \frac{1}{32}$, $q = \frac{1}{2}$. Найдите $S_8$.

б) Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если её пятый член равен $-9$, а знаменатель равен $-3$.

а)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, в которой четвертый член $b_4 = \frac{1}{32}$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Необходимо найти сумму первых восьми членов $S_8$.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения для $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

$\frac{1}{32} = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^3$

$\frac{1}{32} = b_1 \cdot \frac{1}{8}$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{1}{32} \cdot 8 = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

Теперь, зная $b_1$ и $q$, можем найти сумму первых восьми членов прогрессии по формуле:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Подставим $n=8$, $b_1 = \frac{1}{4}$ и $q = \frac{1}{2}$:

$S_8 = \frac{\frac{1}{4}(1 - (\frac{1}{2})^8)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{256})}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4}(\frac{256-1}{256})}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{255}{256}}{\frac{1}{2}}$

Выполним вычисления:

$S_8 = \frac{255}{4 \cdot 256} \cdot 2 = \frac{255}{2 \cdot 256} = \frac{255}{512}$

Ответ: $S_8 = \frac{255}{512}$.

б)

В геометрической прогрессии пятый член $b_5 = -9$, а знаменатель $q = -3$. Необходимо найти сумму первых пяти членов $S_5$.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения для $n=5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

$-9 = b_1 \cdot (-3)^4$

$-9 = b_1 \cdot 81$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{-9}{81} = -\frac{1}{9}$

Теперь найдем сумму первых пяти членов прогрессии по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Подставим $n=5$, $b_1 = -\frac{1}{9}$ и $q = -3$:

$S_5 = \frac{-\frac{1}{9}(1 - (-3)^5)}{1 - (-3)} = \frac{-\frac{1}{9}(1 - (-243))}{1 + 3} = \frac{-\frac{1}{9}(1 + 243)}{4} = \frac{-\frac{1}{9} \cdot 244}{4}$

Выполним вычисления:

$S_5 = -\frac{244}{9 \cdot 4} = -\frac{244}{36}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$S_5 = -\frac{61}{9}$

Ответ: $S_5 = -\frac{61}{9}$.