Номер 412, страница 149 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.4 Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 412, страница 149.

412ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Проведите следующий эксперимент: возьмите любой (но не первый!) конкретный член геометрической прогрессии 2; 6; 18; 54; 162; ..., начиная со второго, и убедитесь в том, что он равен среднему геометрическому двух соседних членов. (Напомним, что среднее геометрическое двух положительных чисел a и b равно $ \sqrt{ab} $.)

2) Докажите, что это свойство справедливо для любой геометрической прогрессии, членами которой являются положительные числа.

3) Используя полученный результат, найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии, знаменатель которой — положительное число:

а) $b_1$; 6; $b_3$; 24; $b_5$; $b_6$; ....

б) 243; $b_2$; 81; ....; $b_6$; 9; $b_8$; ....

1) Проведем эксперимент для геометрической прогрессии 2; 6; 18; 54; 162; ...

Возьмем, к примеру, второй член прогрессии $b_2 = 6$. Его соседние члены: $b_1 = 2$ и $b_3 = 18$.

Найдем среднее геометрическое этих двух членов: $\sqrt{b_1 \cdot b_3} = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6$.

Полученное значение равно второму члену прогрессии, $b_2$.

Теперь возьмем четвертый член прогрессии $b_4 = 54$. Его соседи: $b_3 = 18$ и $b_5 = 162$.

Найдем среднее геометрическое этих членов: $\sqrt{b_3 \cdot b_5} = \sqrt{18 \cdot 162} = \sqrt{2916} = 54$.

Это значение равно четвертому члену, $b_4$.

Эксперимент подтверждает, что любой член геометрической прогрессии (кроме первого) равен среднему геометрическому своих соседних членов.

Ответ: Эксперимент подтвердил справедливость утверждения для данной прогрессии.

2) Докажем это свойство для любой геометрической прогрессии $(b_n)$, все члены которой являются положительными числами.

Пусть $q$ — знаменатель прогрессии. По определению геометрической прогрессии, для любого $n > 1$ справедливы равенства: $b_n = b_{n-1} \cdot q$ и $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

Выразим $b_{n-1}$ и $b_{n+1}$ через $b_n$ и $q$:

$b_{n-1} = \frac{b_n}{q}$

$b_{n+1} = b_n \cdot q$

Найдем произведение соседних членов $b_{n-1}$ и $b_{n+1}$:

$b_{n-1} \cdot b_{n+1} = \frac{b_n}{q} \cdot (b_n \cdot q) = b_n^2$.

Мы получили равенство $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

Так как по условию все члены прогрессии положительны ($b_n > 0$), мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей равенства:

$b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$.

Это выражение означает, что член $b_n$ является средним геометрическим своих соседей, что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство доказано.

3) Используем доказанное свойство, согласно которому $b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$, для нахождения неизвестных членов прогрессий.

а) Дана последовательность: $b_1; 6; b_3; 24; b_5; b_6; ...$

Из последовательности имеем $b_2 = 6$ и $b_4 = 24$.

Член $b_3$ является средним геометрическим своих соседей $b_2$ и $b_4$:

$b_3 = \sqrt{b_2 \cdot b_4} = \sqrt{6 \cdot 24} = \sqrt{144} = 12$.

Теперь, зная два последовательных члена ($b_2=6$ и $b_3=12$), можем найти знаменатель прогрессии $q$, который по условию является положительным числом:

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{12}{6} = 2$.

Найдем остальные неизвестные члены:

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{6}{2} = 3$.

$b_5 = b_4 \cdot q = 24 \cdot 2 = 48$.

$b_6 = b_5 \cdot q = 48 \cdot 2 = 96$.

Ответ: $b_1 = 3, b_3 = 12, b_5 = 48, b_6 = 96$.

б) Дана последовательность: $243; b_2; 81; ...; b_6; 9; b_8; ...$

Из последовательности имеем $b_1 = 243$, $b_3 = 81$ и $b_7 = 9$.

Найдем член $b_2$ как среднее геометрическое его соседей $b_1$ и $b_3$:

$b_2 = \sqrt{b_1 \cdot b_3} = \sqrt{243 \cdot 81} = \sqrt{3 \cdot 81 \cdot 81} = \sqrt{3 \cdot 81^2} = 81\sqrt{3}$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем известные члены $b_1$ и $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^2 \implies q^2 = \frac{b_3}{b_1} = \frac{81}{243} = \frac{1}{3}$.

Так как по условию $q$ — положительное число, $q = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь, зная $b_7 = 9$ и $q$, найдем $b_6$ и $b_8$. $b_6$ и $b_8$ — это соседи члена $b_7$.

$b_6 = \frac{b_7}{q} = \frac{9}{1/\sqrt{3}} = 9\sqrt{3}$.

$b_8 = b_7 \cdot q = 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$.

Ответ: $b_2 = 81\sqrt{3}, b_6 = 9\sqrt{3}, b_8 = 3\sqrt{3}$.