Страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

422 Почтальон заметил, что за 6 дней до праздника число разносимых им писем увеличивается ежедневно примерно в 1,5 раза. Сколько всего писем разнёс почтальон за 6 предпраздничных дней, если в первый из них он разнёс 32 письма?

Количество писем, которые почтальон разносит каждый день, образует геометрическую прогрессию. В этой прогрессии первый член — это количество писем в первый день, а знаменатель — это коэффициент, на который это количество ежедневно увеличивается.

Параметры этой прогрессии согласно условию задачи:
• Первый член прогрессии $b_1 = 32$.
• Знаменатель прогрессии $q = 1.5$.
• Количество дней (членов прогрессии) $n = 6$.

Для нахождения общего количества писем за 6 дней, необходимо вычислить сумму первых шести членов этой прогрессии, $S_6$. Воспользуемся стандартной формулой суммы для геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим известные значения в формулу:
$S_6 = \frac{32(1.5^6 - 1)}{1.5 - 1}$

Для удобства вычислений представим знаменатель $q=1.5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{2}$. Тогда $q^6$:
$q^6 = 1.5^6 = (\frac{3}{2})^6 = \frac{3^6}{2^6} = \frac{729}{64}$

Теперь выполним итоговый расчёт:
$S_6 = \frac{32(\frac{729}{64} - 1)}{1.5 - 1} = \frac{32(\frac{729 - 64}{64})}{0.5} = \frac{32 \cdot \frac{665}{64}}{0.5}$
Сократим 32 и 64:
$S_6 = \frac{\frac{665}{2}}{0.5} = \frac{332.5}{0.5} = 665$

Таким образом, общее количество писем, которые разнёс почтальон за 6 дней, составляет 665.

Ответ: 665 писем.

423 Здесь приведена классическая задача, которая в разных источниках существует с разными сюжетами. Ситуация, описанная в данном случае, возникла в те времена, когда основным средством быстрой передачи сообщений на дальние расстояния был телеграф.

Телеграфистке поручено передать важную информацию трём другим телеграфисткам. Каждая из них, в свою очередь, должна передать сообщение трём другим телеграфисткам и т.д. На выполнение поручения у каждой телеграфистки уходит 6 минут. Сколько телеграфисток будут знать эту информацию через полчаса?

Для решения задачи сначала определим, сколько циклов передачи информации произойдет за полчаса.

Полчаса – это 30 минут. Каждая передача (одной телеграфисткой трем другим) занимает 6 минут. Следовательно, количество циклов передачи информации равно:
$30 \text{ минут} / 6 \text{ минут} = 5$ циклов.

Теперь рассчитаем общее количество телеграфисток, которые будут знать информацию, шаг за шагом:

• Изначально (0 минут): 1 телеграфистка знает информацию.
• После 1-го цикла (6 минут): Первая телеграфистка сообщает трем другим ($3^1=3$). Общее число знающих: $1 + 3 = 4$.
• После 2-го цикла (12 минут): Каждая из 3 новых телеграфисток сообщает еще трем ($3 \times 3 = 3^2 = 9$). Общее число знающих: $4 + 9 = 13$.
• После 3-го цикла (18 минут): Каждая из 9 новых телеграфисток сообщает еще трем ($9 \times 3 = 3^3 = 27$). Общее число знающих: $13 + 27 = 40$.
• После 4-го цикла (24 минуты): Каждая из 27 новых телеграфисток сообщает еще трем ($27 \times 3 = 3^4 = 81$). Общее число знающих: $40 + 81 = 121$.
• После 5-го цикла (30 минут): Каждая из 81 новой телеграфистки сообщает еще трем ($81 \times 3 = 3^5 = 243$). Общее число знающих: $121 + 243 = 364$.

Эту задачу также можно решить с помощью формулы суммы членов геометрической прогрессии. Число телеграфисток, узнающих информацию на каждом этапе, представляет собой члены прогрессии со знаменателем 3. Общее число телеграфисток равно сумме:
$S = 1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5$
Это сумма первых 6 членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 1$ и знаменатель $q = 3$.
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
$S_6 = \frac{1 \cdot (3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{729 - 1}{2} = \frac{728}{2} = 364$.

Таким образом, через полчаса информацию будут знать 364 телеграфистки.
Ответ: 364.

424 Премиальный фонд 48 750 р. надо разделить между четырьмя сотрудниками так, чтобы каждый следующий сотрудник в списке, составленном руководителем, получил в 1,5 раза больше предыдущего. Сколько получит каждый?

Данная задача описывает распределение средств по принципу геометрической прогрессии. Пусть $x$ — это сумма премии, которую получит первый сотрудник. Тогда, по условию задачи, каждый следующий сотрудник получит в 1,5 раза больше предыдущего. Суммы премий для четырех сотрудников будут выглядеть так:

• 1-й сотрудник: $x$ рублей
• 2-й сотрудник: $1,5 \cdot x$ рублей
• 3-й сотрудник: $1,5 \cdot (1,5x) = 1,5^2 x = 2,25x$ рублей
• 4-й сотрудник: $1,5 \cdot (2,25x) = 1,5^3 x = 3,375x$ рублей

Общая сумма премиального фонда составляет 48 750 рублей. Мы можем составить уравнение, приравняв сумму всех премий к общему фонду:

$x + 1,5x + 2,25x + 3,375x = 48750$

Сложим все части с переменной $x$:

$(1 + 1,5 + 2,25 + 3,375)x = 48750$

$8,125x = 48750$

Теперь найдем значение $x$, разделив общую сумму на полученный коэффициент:

$x = \frac{48750}{8,125} = 6000$

Таким образом, премия первого сотрудника составляет 6000 рублей. Теперь мы можем рассчитать премии для остальных сотрудников:

• Премия 1-го сотрудника: $6000$ рублей.
• Премия 2-го сотрудника: $6000 \cdot 1,5 = 9000$ рублей.
• Премия 3-го сотрудника: $9000 \cdot 1,5 = 13500$ рублей.
• Премия 4-го сотрудника: $13500 \cdot 1,5 = 20250$ рублей.

Для проверки сложим все полученные суммы:

$6000 + 9000 + 13500 + 20250 = 48750$ рублей.

Сумма сходится с общим премиальным фондом.

Ответ: первый сотрудник получит 6000 р., второй — 9000 р., третий — 13500 р., четвертый — 20250 р.

425 Из одинаковых кубиков строятся две ступенчатые фигуры (рис. 4.14). В первом случае столбики растут равномерно, а во втором высота каждого следующего столбика удваивается по сравнению с высотой предыдущего. Сколько кубиков потребуется для каждой из фигур, если в них содержится:

по 8 столбиков;

по $n$ столбиков?

Рис. 4.14

Для решения задачи рассмотрим каждую фигуру отдельно.

Первая фигура (слева): Высота столбиков увеличивается равномерно. Первый столбик состоит из 1 кубика, второй — из 2, третий — из 3, и так далее. Высота n-го столбика равна n. Количество кубиков в фигуре равно сумме членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1=1$ и разность $d=1$.

Вторая фигура (справа): Высота каждого следующего столбика удваивается. Первый столбик состоит из 1 кубика, второй — из 2, третий — из 4, четвертый — из 8, и так далее. Высота n-го столбика равна $2^{n-1}$. Количество кубиков в фигуре равно сумме членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1=1$ и знаменатель $q=2$.

Для первой фигуры (арифметическая прогрессия) нужно найти сумму $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8$. Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:
$S_8 = \frac{8(1 + 8)}{2} = \frac{8 \cdot 9}{2} = 36$ кубиков.

Для второй фигуры (геометрическая прогрессия) нужно найти сумму $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128$. Используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_8 = \frac{1(2^8 - 1)}{2 - 1} = 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$ кубиков.
Ответ: для первой фигуры потребуется 36 кубиков, для второй — 255 кубиков.

Для первой фигуры с $n$ столбиками общее количество кубиков вычисляется по формуле суммы первых $n$ натуральных чисел:
$S_n = 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Для второй фигуры с $n$ столбиками общее количество кубиков вычисляется по формуле суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии с $b_1=1$ и $q=2$:
$S_n = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$.
Ответ: для первой фигуры потребуется $\frac{n(n+1)}{2}$ кубиков, для второй — $2^n - 1$ кубиков.

426 Фигура, изображённая на рисунке 4.15, составляется из прямоугольников, причём каждый следующий в 1,5 раза выше предыдущего. Найдите площадь фигуры, если она состоит из 5 прямоугольников; из $n$ прямоугольников.

Puc. 4.15

На осях графика обозначены: $y$ и $x$.

Данная фигура состоит из прямоугольников. Из графика видно, что ширина каждого прямоугольника равна 1 единице (первый от 0 до 1, второй от 1 до 2 и так далее). Высота первого прямоугольника, как видно из графика, равна 1.

По условию, высота каждого следующего прямоугольника в 1,5 раза больше высоты предыдущего. Таким образом, высоты прямоугольников образуют геометрическую прогрессию с первым членом $h_1 = 1$ и знаменателем $q = 1,5$.

Площадь $S_k$ каждого k-го прямоугольника равна произведению его ширины (которая равна 1) на высоту $h_k$. Следовательно, $S_k = 1 \cdot h_k = h_k$. Это означает, что площади прямоугольников также образуют геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = S_1 = 1$ и знаменателем $q = 1,5$.

Общая площадь фигуры, состоящей из $n$ прямоугольников, находится как сумма первых $n$ членов этой геометрической прогрессии по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Для нахождения площади фигуры из 5 прямоугольников, нам нужно найти сумму первых пяти членов прогрессии, то есть $n=5$. Подставим в формулу значения $b_1 = 1$, $q = 1,5$ и $n = 5$:

$S_5 = \frac{1 \cdot (1,5^5 - 1)}{1,5 - 1} = \frac{1,5^5 - 1}{0,5}$

Рассчитаем $1,5^5$:

$1,5^5 = (\frac{3}{2})^5 = \frac{3^5}{2^5} = \frac{243}{32} = 7,59375$

Теперь подставим это значение в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{7,59375 - 1}{0,5} = \frac{6,59375}{0,5} = 13,1875$

Также можно представить результат в виде обыкновенной дроби: $\frac{211}{16}$ или $13\frac{3}{16}$.

Ответ: $13,1875$

Для нахождения площади фигуры, состоящей из $n$ прямоугольников, используем ту же формулу суммы геометрической прогрессии, где $n$ является количеством прямоугольников.

Подставляем известные значения $b_1 = 1$ и $q = 1,5$:

$S_n = \frac{1 \cdot (1,5^n - 1)}{1,5 - 1} = \frac{1,5^n - 1}{0,5} = 2(1,5^n - 1)$

Формулу можно также записать с использованием обыкновенных дробей:

$S_n = 2((\frac{3}{2})^n - 1)$

Ответ: $2(1,5^n - 1)$