Страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Определите, о каких процентах — простых или сложных — идёт речь в задаче, и решите её (427–432):

427 Клиент банка взял автокредит 200 тыс. р. на 24 месяца и оформил страховку от несчастных случаев и болезней заёмщика. Стоимость страховки составляет $0.4\%$ от первоначальной суммы кредита ежемесячно.

a) Сколько составят страховые выплаты за один месяц? за $n$ месяцев после взятия кредита?

б) Через сколько месяцев выплаты за страховку превысят 10 тыс. р.?

В данной задаче речь идёт о простых процентах, так как стоимость страховки ежемесячно рассчитывается от одной и той же первоначальной суммы кредита, а не от изменяющегося остатка долга.

Определите, о каких процентах — простых или сложных — идёт речь в задаче, и решите её (427–432):

428 Цена нового автомобиля 450 000 р. При нормальных условиях эксплуатации его продажная стоимость с каждым годом уменьшается на 8 % от первоначальной цены.

а) За сколько рублей сможет продать автомобиль владелец через 4 года эксплуатации? через $n$ лет эксплуатации?

б) Через сколько лет продажная стоимость автомобиля станет меньше 250 тыс. р.?

В задаче речь идет о простых процентах, так как стоимость автомобиля каждый год уменьшается на одну и ту же фиксированную величину, равную 8% от первоначальной цены, а не от текущей. Это соответствует формуле простых процентов для уменьшения величины (или арифметической прогрессии, где разность отрицательна).

а) За сколько рублей сможет продать автомобиль владелец через 4 года эксплуатации? через n лет эксплуатации?

Первоначальная стоимость автомобиля $S_0 = 450 000$ рублей.
Величина, на которую ежегодно уменьшается стоимость, составляет $8\%$ от первоначальной цены:
$d = 450 000 \cdot \frac{8}{100} = 450 000 \cdot 0.08 = 36 000$ рублей.

Стоимость автомобиля $S_n$ через $n$ лет можно найти по формуле:
$S_n = S_0 - n \cdot d$
Подставив известные значения, получим общую формулу для данной задачи:
$S_n = 450 000 - 36 000 \cdot n$

Чтобы найти стоимость через 4 года, подставим $n = 4$ в эту формулу:
$S_4 = 450 000 - 36 000 \cdot 4 = 450 000 - 144 000 = 306 000$ рублей.

Ответ: через 4 года владелец сможет продать автомобиль за 306 000 рублей; формула стоимости через n лет: $S_n = 450 000 - 36 000n$.

б) Через сколько лет продажная стоимость автомобиля станет меньше 250 тыс. р.?

Чтобы найти количество лет $n$, по истечении которых стоимость автомобиля станет меньше 250 000 рублей, необходимо решить неравенство:
$S_n < 250 000$
$450 000 - 36 000 \cdot n < 250 000$
Вычтем 450 000 из обеих частей неравенства:
$-36 000 \cdot n < 250 000 - 450 000$
$-36 000 \cdot n < -200 000$
Разделим обе части на $-36 000$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$n > \frac{-200 000}{-36 000}$
$n > \frac{200}{36}$
Сократим дробь:
$n > \frac{50}{9}$
$n > 5\frac{5}{9}$

Поскольку $n$ (количество лет эксплуатации) должно быть целым числом, наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее данному неравенству, — это 6.
Таким образом, через 6 лет продажная стоимость автомобиля станет меньше 250 000 рублей.

Ответ: через 6 лет.

Определите, о каких процентах — простых или сложных — идёт речь в задаче, и решите её (427–432):

429

Клиент банка внёс 15 000 р. на срочный вклад с годовым доходом 6,5 %. Сколько денег будет на счёте через 1 год, 2 года, 3 года, если никакие суммы со счёта не снимаются и никаких дополнительных вложений не делается? Запишите формулу для вычисления суммы на счёте через $n$ лет. $A_n = 15000(1.065)^n$

В данной задаче речь идёт о сложных процентах. Это следует из того, что вклад срочный, и по условию никакие суммы со счёта не снимаются. Это означает, что начисленные за год проценты прибавляются к основной сумме вклада (происходит капитализация процентов), и в следующем году процентный доход начисляется уже на новую, увеличенную сумму.

Для расчётов используется формула сложных процентов: $S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$, где:

• $S_n$ — итоговая сумма через $n$ лет;
• $S_0$ — первоначальная сумма вклада ($15000$ р.);
• $p$ — годовая процентная ставка ($6.5\%$);
• $n$ — количество лет.

Через 1 год

Вычисляем сумму на счёте через 1 год ($n=1$):
$S_1 = 15000 \cdot (1 + \frac{6.5}{100})^1 = 15000 \cdot 1.065 = 15975$ р.

Ответ: через 1 год на счёте будет 15 975 рублей.

Через 2 года

Вычисляем сумму на счёте через 2 года ($n=2$):
$S_2 = 15000 \cdot (1 + \frac{6.5}{100})^2 = 15000 \cdot (1.065)^2 = 15000 \cdot 1.134225 = 17013.375$ р.
Округляя до копеек, получаем 17 013,38 р.

Ответ: через 2 года на счёте будет 17 013,38 рублей.

Через 3 года

Вычисляем сумму на счёте через 3 года ($n=3$):
$S_3 = 15000 \cdot (1 + \frac{6.5}{100})^3 = 15000 \cdot (1.065)^3 = 15000 \cdot 1.207949625 \approx 18119.24$ р.
С округлением до копеек, получаем 18 119,24 р.

Ответ: через 3 года на счёте будет 18 119,24 рублей.

Формула для вычисления суммы на счёте через n лет

Для нахождения суммы $S_n$ на счёте через произвольное количество лет $n$ при начальном вкладе $15000$ р. и ставке $6.5\%$ годовых используется следующая формула:

$S_n = 15000 \cdot (1 + \frac{6.5}{100})^n$

или

$S_n = 15000 \cdot (1.065)^n$

Ответ: формула для вычисления суммы на счёте через $n$ лет: $S_n = 15000 \cdot (1.065)^n$.

Определите, о каких процентах — простых или сложных — идёт речь в задаче, и решите её (427–432):

430

Андрей готовился к словарному диктанту по английскому языку. Накануне ночью он выучил 80 новых слов. Андрей знает, что без повторения он ежедневно забывает примерно 5 % слов, которые он помнил к этому дню. Сколько слов будет помнить Андрей, если диктант отложат на неделю и он не будет повторять выученные слова?

Определение типа процентов
В данной задаче речь идет о сложных процентах. Это связано с тем, что Андрей каждый день забывает 5% от количества слов, которые он помнил к началу этого дня, а не от первоначально выученного количества. Таким образом, база для начисления процентов (в данном случае, для уменьшения) меняется каждый день.

Решение задачи
Для решения задачи используем формулу сложных процентов для случая уменьшения величины:
$S_n = S_0 \cdot (1 - \frac{p}{100})^n$
где:

• $S_n$ — итоговое количество слов, которое Андрей будет помнить;
• $S_0$ — начальное количество выученных слов, $S_0 = 80$;
• $p$ — процент забываемых слов в день, $p = 5$;
• $n$ — количество дней (периодов), $n = 7$ (так как диктант отложили на неделю).

Подставим значения в формулу:
$S_7 = 80 \cdot (1 - \frac{5}{100})^7$
$S_7 = 80 \cdot (1 - 0.05)^7$
$S_7 = 80 \cdot (0.95)^7$
Вычислим значение $(0.95)^7$:
$(0.95)^7 \approx 0.698337296$
Теперь умножим это значение на начальное количество слов:
$S_7 \approx 80 \cdot 0.698337 = 55.86696$
Поскольку количество слов должно быть целым числом, округлим полученный результат до ближайшего целого.
$55.86696 \approx 56$
Таким образом, через неделю Андрей будет помнить примерно 56 слов.
Ответ: Андрей будет помнить примерно 56 слов.

Определите, о каких процентах — простых или сложных — идёт речь в задаче, и решите её (427–432):

431

При покупке квартиры в строящемся доме покупатель заключил со строительной фирмой следующий договор: сразу после заключения договора он выплачивает 10 % стоимости квартиры, а далее начинает ежемесячно выплачивать 1,5 % от её стоимости. Квартира стоит 1 200 000 р.

а) Составьте формулу для вычисления суммы, выплаченной покупателем квартиры через $n$ месяцев после заключения договора. Вычислите, сколько было выплачено через 1 год; через 2 года.

Формула для суммы, выплаченной через $n$ месяцев:

$P(n) = 120000 + 18000n$

б) Составьте формулу для вычисления суммы, которую осталось заплатить через $n$ месяцев с начала действия договора, и найдите, сколько останется заплатить через 1 год; через 2 года.

Формула для суммы, которую осталось заплатить через $n$ месяцев:

$R(n) = 1080000 - 18000n$

в) На сколько лет рассчитана выплата стоимости квартиры?

г) Проиллюстрируйте графически ситуации, описанные в заданиях «а» и «б», откладывая по горизонтальной оси число лет, в течение которых производится расчёт, а по вертикальной оси — денежные суммы.

В задаче речь идет о простых процентах, так как ежемесячный платеж в размере 1,5% рассчитывается от первоначальной полной стоимости квартиры (1 200 000 р.), а не от остатка долга. Это означает, что сумма ежемесячного платежа является постоянной величиной.

а) Составьте формулу для вычисления суммы, выплаченной покупателем квартиры через n месяцев после заключения договора. Вычислите, сколько было выплачено через 1 год; через 2 года.

Полная стоимость квартиры $S = 1\;200\;000$ рублей.
Первоначальный взнос составляет 10% от стоимости квартиры:
$P_0 = S \cdot 0,10 = 1\;200\;000 \cdot 0,10 = 120\;000$ рублей.
Ежемесячный платеж составляет 1,5% от стоимости квартиры:
$P_m = S \cdot 0,015 = 1\;200\;000 \cdot 0,015 = 18\;000$ рублей.
Сумма, выплаченная через $n$ месяцев, состоит из первоначального взноса и $n$ ежемесячных платежей. Обозначим ее как $S_{выпл}(n)$.
Формула для вычисления выплаченной суммы:
$S_{выпл}(n) = P_0 + n \cdot P_m$
Подставляя числовые значения, получаем:
$S_{выпл}(n) = 120\;000 + 18\;000 \cdot n$

Вычислим, сколько было выплачено через 1 год ($n=12$ месяцев):
$S_{выпл}(12) = 120\;000 + 18\;000 \cdot 12 = 120\;000 + 216\;000 = 336\;000$ рублей.
Вычислим, сколько было выплачено через 2 года ($n=24$ месяца):
$S_{выпл}(24) = 120\;000 + 18\;000 \cdot 24 = 120\;000 + 432\;000 = 552\;000$ рублей.

Ответ: Формула для выплаченной суммы: $S_{выпл}(n) = 120\;000 + 18\;000 \cdot n$. Через 1 год выплачено 336 000 рублей, через 2 года — 552 000 рублей.

б) Составьте формулу для вычисления суммы, которую осталось заплатить через n месяцев с начала действия договора, и найдите, сколько останется заплатить через 1 год; через 2 года.

Сумма, которую осталось заплатить, $S_{ост}(n)$, равна полной стоимости квартиры $S$ минус уже выплаченная сумма $S_{выпл}(n)$.
$S_{ост}(n) = S - S_{выпл}(n)$
Подставляя формулу из пункта «а», получаем:
$S_{ост}(n) = 1\;200\;000 - (120\;000 + 18\;000 \cdot n) = 1\;080\;000 - 18\;000 \cdot n$
Это и есть искомая формула.

Вычислим, сколько осталось заплатить через 1 год ($n=12$ месяцев):
$S_{ост}(12) = 1\;080\;000 - 18\;000 \cdot 12 = 1\;080\;000 - 216\;000 = 864\;000$ рублей.
Вычислим, сколько осталось заплатить через 2 года ($n=24$ месяца):
$S_{ост}(24) = 1\;080\;000 - 18\;000 \cdot 24 = 1\;080\;000 - 432\;000 = 648\;000$ рублей.

Ответ: Формула для оставшейся суммы: $S_{ост}(n) = 1\;080\;000 - 18\;000 \cdot n$. Через 1 год останется заплатить 864 000 рублей, через 2 года — 648 000 рублей.

в) На сколько лет рассчитана выплата стоимости квартиры?

Выплата будет завершена, когда оставшаяся сумма станет равна нулю, то есть $S_{ост}(n) = 0$.
$1\;080\;000 - 18\;000 \cdot n = 0$
$18\;000 \cdot n = 1\;080\;000$
$n = \frac{1\;080\;000}{18\;000} = \frac{1080}{18} = 60$ месяцев.
Чтобы перевести месяцы в годы, разделим их количество на 12:
Количество лет = $\frac{60}{12} = 5$ лет.

Ответ: Выплата стоимости квартиры рассчитана на 5 лет.

г) Проиллюстрируйте графически ситуации, описанные в заданиях «а» и «б», откладывая по горизонтальной оси число лет, в течение которых производится расчёт, а по вертикальной оси — денежные суммы.

Для построения графиков используем прямоугольную систему координат. По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываем время $t$ в годах, от 0 до 5. По вертикальной оси (оси ординат) откладываем денежную сумму в рублях.

1. График выплаченной суммы (задание «а»).
Обозначим выплаченную сумму как $y_a(t)$. Так как в году 12 месяцев, то $n = 12t$.
Формула из пункта «а» в зависимости от лет $t$:
$y_a(t) = 120\;000 + 18\;000 \cdot (12t) = 120\;000 + 216\;000 \cdot t$
Это линейная функция. Графиком является отрезок прямой, проходящий через две точки:
- При $t=0$: $y_a(0) = 120\;000$. Начальная точка (0; 120 000). Это первоначальный взнос. - При $t=5$: $y_a(5) = 120\;000 + 216\;000 \cdot 5 = 120\;000 + 1\;080\;000 = 1\;200\;000$. Конечная точка (5; 1 200 000). Это полная стоимость квартиры. График представляет собой возрастающий отрезок прямой.

2. График оставшейся суммы (задание «б»).
Обозначим оставшуюся сумму как $y_b(t)$.
Формула из пункта «б» в зависимости от лет $t$:
$y_b(t) = 1\;080\;000 - 18\;000 \cdot (12t) = 1\;080\;000 - 216\;000 \cdot t$
Это также линейная функция. Графиком является отрезок прямой, проходящий через две точки:
- При $t=0$: $y_b(0) = 1\;080\;000$. Начальная точка (0; 1 080 000). Это остаток долга после первого взноса. - При $t=5$: $y_b(5) = 1\;080\;000 - 216\;000 \cdot 5 = 1\;080\;000 - 1\;080\;000 = 0$. Конечная точка (5; 0). Долг полностью погашен. График представляет собой убывающий отрезок прямой.

Ответ: Графики представляют собой два отрезка прямых на временном интервале от $t=0$ до $t=5$ лет. График выплаченной суммы $y_a(t) = 120\;000 + 216\;000t$ начинается в точке (0; 120 000) и возрастает до точки (5; 1 200 000). График оставшейся суммы $y_b(t) = 1\;080\;000 - 216\;000t$ начинается в точке (0; 1 080 000) и убывает до точки (5; 0).

Определите, о каких процентах — простых или сложных — идёт речь в задаче, и решите её (427–432):

432 Николай и Сергей вложили по 10 000 р. в разные банки. У Николая годовой доход составляет 10 %, а у Сергея — 5 %. Верно ли, что:

а) доход Николая через год будет в 2 раза больше, чем доход Сергея;

б) доход Николая через 3 года будет в 2 раза больше, чем доход Сергея?

В данной задаче речь идет о банковских вкладах на несколько лет, поэтому следует исходить из того, что используются сложные проценты. Это означает, что проценты за каждый следующий год начисляются на сумму, включающую уже начисленные ранее проценты (происходит капитализация процентов). Общий доход (начисленные проценты) за $n$ лет рассчитывается по формуле: $Д = P \times ((1+r)^n - 1)$, где $P$ — первоначальный вклад, $r$ — годовая процентная ставка в виде десятичной дроби, $n$ — количество лет.

Исходные данные: первоначальный вклад $P = 10\,000$ р. Годовая ставка Николая $r_Н = 10\% = 0.1$. Годовая ставка Сергея $r_С = 5\% = 0.05$.

Рассчитаем доход каждого через $n=1$ год. Отметим, что за первый год доход по сложным и простым процентам совпадает.

Доход Николая за 1 год:
$Д_Н = 10\,000 \times ((1+0.1)^1 - 1) = 10\,000 \times 0.1 = 1000$ р.

Доход Сергея за 1 год:
$Д_С = 10\,000 \times ((1+0.05)^1 - 1) = 10\,000 \times 0.05 = 500$ р.

Сравним их доходы, найдя их отношение:
$\frac{Д_Н}{Д_С} = \frac{1000}{500} = 2$.

Доход Николая действительно в 2 раза больше дохода Сергея.

Ответ: Да, верно.

Рассчитаем общий доход каждого за $n=3$ года по формуле сложных процентов.

Общий доход Николая за 3 года:
$Д_{Н3} = 10\,000 \times ((1+0.1)^3 - 1) = 10\,000 \times (1.1^3 - 1)$
$Д_{Н3} = 10\,000 \times (1.331 - 1) = 10\,000 \times 0.331 = 3310$ р.

Общий доход Сергея за 3 года:
$Д_{С3} = 10\,000 \times ((1+0.05)^3 - 1) = 10\,000 \times (1.05^3 - 1)$
$Д_{С3} = 10\,000 \times (1.157625 - 1) = 10\,000 \times 0.157625 = 1576.25$ р.

Теперь сравним их доходы. Если бы доход Николая был в 2 раза больше, он составил бы:
$2 \times Д_{С3} = 2 \times 1576.25 = 3152.50$ р.

Так как фактический доход Николая $3310$ р. не равен $3152.50$ р. ($3310 > 3152.50$), то утверждение неверно. Из-за эффекта сложных процентов доход Николая будет более чем в 2 раза превышать доход Сергея.

Ответ: Нет, неверно.