Номер 427, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.6 Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 427, страница 155.

Определите, о каких процентах — простых или сложных — идёт речь в задаче, и решите её (427–432):

427 Клиент банка взял автокредит 200 тыс. р. на 24 месяца и оформил страховку от несчастных случаев и болезней заёмщика. Стоимость страховки составляет $0.4\%$ от первоначальной суммы кредита ежемесячно.

a) Сколько составят страховые выплаты за один месяц? за $n$ месяцев после взятия кредита?

б) Через сколько месяцев выплаты за страховку превысят 10 тыс. р.?

В данной задаче речь идёт о простых процентах, так как стоимость страховки ежемесячно рассчитывается от одной и той же первоначальной суммы кредита, а не от изменяющегося остатка долга.

а) Сколько составят страховые выплаты за один месяц? за n месяцев после взятия кредита?

Первоначальная сумма кредита составляет $S_0 = 200$ тыс. р. (или 200 000 р.).

Стоимость страховки составляет 0,4% от этой суммы ежемесячно.

1. Выплаты за один месяц ($P_1$):

Для расчёта переведём проценты в десятичную дробь: $0,4\% = 0,004$.

Сумма ежемесячной выплаты по страховке:

$P_1 = S_0 \cdot 0,004 = 200 \ 000 \ \text{р.} \cdot 0,004 = 800 \ \text{р.}$

Или в тысячах рублей: $P_1 = 200 \ \text{тыс. р.} \cdot 0,004 = 0,8 \ \text{тыс. р.}$

2. Выплаты за n месяцев ($P_n$):

Так как ежемесячная выплата постоянна, общая сумма выплат за $n$ месяцев будет равна произведению ежемесячной выплаты на количество месяцев:

$P_n = P_1 \cdot n = 800 \cdot n \ \text{р.}$

Или в тысячах рублей: $P_n = 0,8 \cdot n \ \text{тыс. р.}$

Ответ: страховые выплаты составят 800 р. за один месяц и $800 \cdot n$ р. за $n$ месяцев.

б) Через сколько месяцев выплаты за страховку превысят 10 тыс. р.?

Нам нужно найти минимальное целое число месяцев $n$, при котором общая сумма выплат $P_n$ будет больше 10 000 р.

Составим неравенство, используя формулу, полученную в пункте а):

$P_n > 10 \ 000$

$800 \cdot n > 10 \ 000$

Решим неравенство относительно $n$:

$n > \frac{10 \ 000}{800}$

$n > \frac{100}{8}$

$n > 12,5$

Поскольку количество месяцев $n$ должно быть целым числом, наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 13.

Проверим: за 12 месяцев выплаты составят $800 \cdot 12 = 9600$ р., что меньше 10 000 р. За 13 месяцев выплаты составят $800 \cdot 13 = 10 \ 400$ р., что больше 10 000 р.

Ответ: через 13 месяцев.