Номер 1, страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 1, страница 157.

Определите, какие из следующих геометрических прогрессий являются бесконечно убывающими, и найдите их сумму:

а) $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ...;$

б) $5^{-1}; 5^{0}; 5^{1}; 5^{2}; ...;$

в) $5^{2}; 5^{1}; 5^{0}; 5^{-1}; ...;$

г) $1; \frac{3}{2}; \frac{9}{4}; \frac{27}{8}; ...$

а) Дана геометрическая прогрессия $ \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ... $. Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{2}$. Знаменатель прогрессии $q$ находится как отношение последующего члена к предыдущему: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$. Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. В данном случае, $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. Следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставим наши значения: $S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$.
Ответ: является бесконечно убывающей, сумма равна 1.

б) Дана прогрессия $5^{-1}; 5^0; 5^1; 5^2; ...$, что можно записать как $ \frac{1}{5}; 1; 5; 25; ... $. Это геометрическая прогрессия, первый член которой $b_1 = 5^{-1} = \frac{1}{5}$. Её знаменатель $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5^0}{5^{-1}} = \frac{1}{1/5} = 5$. Проверим условие $|q| < 1$. Так как $|5| = 5 \ge 1$, данная прогрессия не является бесконечно убывающей.
Ответ: не является бесконечно убывающей.

в) Дана прогрессия $5^2; 5^1; 5^0; 5^{-1}; ...$, что можно записать как $ 25; 5; 1; \frac{1}{5}; ... $. Это геометрическая прогрессия, первый член которой $b_1 = 5^2 = 25$. Её знаменатель $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5^1}{5^2} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$. Проверим условие $|q| < 1$. В данном случае, $|q| = |\frac{1}{5}| = \frac{1}{5} < 1$. Следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей. Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$: $S = \frac{25}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{25}{\frac{5-1}{5}} = \frac{25}{\frac{4}{5}} = 25 \cdot \frac{5}{4} = \frac{125}{4} = 31,25$.
Ответ: является бесконечно убывающей, сумма равна $31,25$.

г) Дана геометрическая прогрессия $1; \frac{3}{2}; \frac{9}{4}; \frac{27}{8}; ...$. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3/2}{1} = \frac{3}{2}$. Проверим условие $|q| < 1$. Так как $|q|=|\frac{3}{2}| = 1,5 \ge 1$, данная прогрессия не является бесконечно убывающей.
Ответ: не является бесконечно убывающей.