Страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Определите, какие из следующих геометрических прогрессий являются бесконечно убывающими, и найдите их сумму:

а) $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ...;$

б) $5^{-1}; 5^{0}; 5^{1}; 5^{2}; ...;$

в) $5^{2}; 5^{1}; 5^{0}; 5^{-1}; ...;$

г) $1; \frac{3}{2}; \frac{9}{4}; \frac{27}{8}; ...$

а) Дана геометрическая прогрессия $ \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ... $. Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{2}$. Знаменатель прогрессии $q$ находится как отношение последующего члена к предыдущему: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$. Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. В данном случае, $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. Следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставим наши значения: $S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$.
Ответ: является бесконечно убывающей, сумма равна 1.

б) Дана прогрессия $5^{-1}; 5^0; 5^1; 5^2; ...$, что можно записать как $ \frac{1}{5}; 1; 5; 25; ... $. Это геометрическая прогрессия, первый член которой $b_1 = 5^{-1} = \frac{1}{5}$. Её знаменатель $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5^0}{5^{-1}} = \frac{1}{1/5} = 5$. Проверим условие $|q| < 1$. Так как $|5| = 5 \ge 1$, данная прогрессия не является бесконечно убывающей.
Ответ: не является бесконечно убывающей.

в) Дана прогрессия $5^2; 5^1; 5^0; 5^{-1}; ...$, что можно записать как $ 25; 5; 1; \frac{1}{5}; ... $. Это геометрическая прогрессия, первый член которой $b_1 = 5^2 = 25$. Её знаменатель $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5^1}{5^2} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$. Проверим условие $|q| < 1$. В данном случае, $|q| = |\frac{1}{5}| = \frac{1}{5} < 1$. Следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей. Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$: $S = \frac{25}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{25}{\frac{5-1}{5}} = \frac{25}{\frac{4}{5}} = 25 \cdot \frac{5}{4} = \frac{125}{4} = 31,25$.
Ответ: является бесконечно убывающей, сумма равна $31,25$.

г) Дана геометрическая прогрессия $1; \frac{3}{2}; \frac{9}{4}; \frac{27}{8}; ...$. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3/2}{1} = \frac{3}{2}$. Проверим условие $|q| < 1$. Так как $|q|=|\frac{3}{2}| = 1,5 \ge 1$, данная прогрессия не является бесконечно убывающей.
Ответ: не является бесконечно убывающей.

2 Определите, через сколько шагов Ахиллес догонит черепаху, вычислив сумму

$1000 + 100 + 10 + 1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \frac{1}{10000} + \dots$

Данная задача, связанная с парадоксом Зенона об Ахиллесе и черепахе, сводится к нахождению суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Ряд, который нам нужно просуммировать: $1000 + 100 + 10 + 1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \dots$

Это геометрическая прогрессия, где первый член $b_1 = 1000$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив любой член прогрессии на предыдущий. Например, второй на первый:

$q = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10} = 0.1$

Так как модуль знаменателя $|q| = |0.1| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1000}{1 - 0.1} = \frac{1000}{0.9}$

Для удобства вычислений представим знаменатель в виде обыкновенной дроби:

$S = \frac{1000}{\frac{9}{10}} = 1000 \cdot \frac{10}{9} = \frac{10000}{9}$

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{10000}{9} = 1111\frac{1}{9}$

Таким образом, Ахиллес догонит черепаху, пройдя расстояние, равное сумме этого ряда.

Ответ: $1111\frac{1}{9}$

3. Представьте в виде обыкновенной дроби:

а) $0,(7)$;

б) $0,(12)$;

в) $0,1(3)$.

а) 0,(7)

Это чистая периодическая дробь. Обозначим $x = 0,(7) = 0,777...$
Поскольку в периоде одна цифра, умножим обе части равенства на 10:
$10x = 7,777...$
Теперь вычтем из второго равенства первое:
$10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
$x = \frac{7}{9}$
Ответ: $\frac{7}{9}$

б) 0,(12)

Это чистая периодическая дробь. Обозначим $x = 0,(12) = 0,121212...$
Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части равенства на 100:
$100x = 12,121212...$
Вычтем из второго равенства первое:
$100x - x = 12,121212... - 0,121212...$
$99x = 12$
$x = \frac{12}{99}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{12 \div 3}{99 \div 3} = \frac{4}{33}$
Ответ: $\frac{4}{33}$

в) 0,1(3)

Это смешанная периодическая дробь. Обозначим $x = 0,1(3) = 0,1333...$
Умножим обе части равенства на 10, чтобы получить чистую периодическую дробь после запятой:
$10x = 1,333...$
Теперь умножим обе части исходного равенства на 100, чтобы сдвинуть один период влево:
$100x = 13,333...$
Вычтем из второго полученного равенства первое:
$100x - 10x = 13,333... - 1,333...$
$90x = 12$
$x = \frac{12}{90}$
Сократим дробь на 6:
$x = \frac{12 \div 6}{90 \div 6} = \frac{2}{15}$
Ответ: $\frac{2}{15}$