Страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1 Последовательность ($a_n$) задана формулой $a_n = \frac{1}{n^2}$. Найдите: $a_5$; $a_{12}$; $a_{k+1}$.

Дана последовательность $(a_n)$, заданная формулой общего члена $a_n = \frac{1}{n^2}$. Чтобы найти любой член этой последовательности, необходимо подставить его порядковый номер $n$ в данную формулу.

a₅;
Для нахождения пятого члена последовательности подставим $n=5$ в формулу:
$a_5 = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
Ответ: $a_5 = \frac{1}{25}$.

a₁₂;
Для нахождения двенадцатого члена последовательности подставим $n=12$ в формулу:
$a_{12} = \frac{1}{12^2} = \frac{1}{144}$
Ответ: $a_{12} = \frac{1}{144}$.

aₖ₊₁;
Для нахождения члена последовательности с номером $k+1$ подставим $n = k+1$ в формулу. Вместо конкретного числа мы подставляем выражение:
$a_{k+1} = \frac{1}{(k+1)^2}$
Это и есть искомое выражение для члена $a_{k+1}$.
Ответ: $a_{k+1} = \frac{1}{(k+1)^2}$.

2 Дана последовательность $2$; $\frac{3}{2}$; $\frac{4}{3}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{6}{5}$; $\dots$ Запишите три следующих числа и составьте формулу $n$-го члена.

Для решения задачи проанализируем данную последовательность чисел: $2; \frac{3}{2}; \frac{4}{3}; \frac{5}{4}; \frac{6}{5}; \ldots$

Обозначим члены последовательности как $a_n$, где $n$ — это порядковый номер члена в последовательности ($n=1, 2, 3, \ldots$).

Представим первый член последовательности, число 2, в виде дроби со знаменателем 1: $a_1 = 2 = \frac{2}{1}$.

Теперь вся последовательность выглядит так: $a_1 = \frac{2}{1}; a_2 = \frac{3}{2}; a_3 = \frac{4}{3}; a_4 = \frac{5}{4}; a_5 = \frac{6}{5}; \ldots$

Из этого представления видна закономерность: для каждого члена последовательности $a_n$ его числитель на единицу больше знаменателя, а знаменатель равен номеру члена $n$. То есть, числитель равен $n+1$, а знаменатель равен $n$.

Запишите три следующих числа

Последний известный член последовательности — пятый, $a_5 = \frac{6}{5}$. Следующие три члена будут шестым ($a_6$), седьмым ($a_7$) и восьмым ($a_8$). Используя найденную закономерность, находим их:
Шестой член ($n=6$): $a_6 = \frac{6+1}{6} = \frac{7}{6}$.
Седьмой член ($n=7$): $a_7 = \frac{7+1}{7} = \frac{8}{7}$.
Восьмой член ($n=8$): $a_8 = \frac{8+1}{8} = \frac{9}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{6}; \frac{8}{7}; \frac{9}{8}$.

Составьте формулу n-го члена

Основываясь на проведенном анализе, мы можем составить общую формулу для любого члена последовательности $a_n$. Числитель каждого члена равен его номеру $n$ плюс 1 (т.е. $n+1$), а знаменатель равен его номеру $n$.

Таким образом, формула для n-го члена последовательности $a_n$ имеет вид: $a_n = \frac{n+1}{n}$.

Ответ: $a_n = \frac{n+1}{n}$.

3 Выпишите первые шесть членов последовательности $(r_n)$, если $r_1 = 3$, $r_{n+1} = r_n - 2$.

Для нахождения первых шести членов последовательности ($r_n$) воспользуемся данным первым членом $r_1 = 3$ и рекуррентной формулой $r_{n+1} = r_n - 2$.

Первый член последовательности нам известен:

$r_1 = 3$

Теперь последовательно вычислим остальные члены до шестого включительно.

Для $n=1$, находим второй член:

$r_2 = r_{1+1} = r_1 - 2 = 3 - 2 = 1$

Для $n=2$, находим третий член:

$r_3 = r_{2+1} = r_2 - 2 = 1 - 2 = -1$

Для $n=3$, находим четвертый член:

$r_4 = r_{3+1} = r_3 - 2 = -1 - 2 = -3$

Для $n=4$, находим пятый член:

$r_5 = r_{4+1} = r_4 - 2 = -3 - 2 = -5$

Для $n=5$, находим шестой член:

$r_6 = r_{5+1} = r_5 - 2 = -5 - 2 = -7$

Таким образом, мы получили первые шесть членов последовательности.

Ответ: 3, 1, -1, -3, -5, -7.

4 Дана арифметическая прогрессия 7,5; 7; 6,5; 6; ... . Найдите следующие три члена этой прогрессии. Чему равна разность прогрессии? Найдите 100-й член этой прогрессии.

Найдите следующие три члена этой прогрессии.

Чтобы найти следующие члены арифметической прогрессии, сначала необходимо определить ее разность ($d$). Разность — это постоянное число, на которое каждый следующий член отличается от предыдущего.
Даны первые члены прогрессии: $a_1 = 7,5$; $a_2 = 7$; $a_3 = 6,5$; $a_4 = 6$.
Вычислим разность $d$, используя первые два члена:
$d = a_2 - a_1 = 7 - 7,5 = -0,5$.

Теперь, зная разность, мы можем найти следующие три члена, последовательно прибавляя $d$ к последнему известному члену $a_4 = 6$:
Пятый член: $a_5 = a_4 + d = 6 + (-0,5) = 5,5$.
Шестой член: $a_6 = a_5 + d = 5,5 + (-0,5) = 5$.
Седьмой член: $a_7 = a_6 + d = 5 + (-0,5) = 4,5$.

Ответ: 5,5; 5; 4,5.

Чему равна разность прогрессии?

Разность арифметической прогрессии ($d$) вычисляется как разность между любым ее членом и предыдущим.
Возьмем, например, второй ($a_2 = 7$) и первый ($a_1 = 7,5$) члены:
$d = a_2 - a_1 = 7 - 7,5 = -0,5$.
Для проверки можно взять четвертый ($a_4 = 6$) и третий ($a_3 = 6,5$) члены:
$d = a_4 - a_3 = 6 - 6,5 = -0,5$.
Разность прогрессии постоянна.

Ответ: -0,5.

Найдите 100-й член этой прогрессии.

Для нахождения $n$-го члена арифметической прогрессии используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
В данной задаче нам известны:
- Первый член прогрессии: $a_1 = 7,5$
- Разность прогрессии: $d = -0,5$
- Номер искомого члена: $n = 100$

Подставим эти значения в формулу для нахождения $a_{100}$:
$a_{100} = a_1 + (100 - 1)d$
$a_{100} = 7,5 + 99 \times (-0,5)$
$a_{100} = 7,5 - 49,5$
$a_{100} = -42$

Ответ: -42.

5 Какой номер имеет член арифметической прогрессии, равный 180, если её первый член равен -20, а разность равна 2,5?

Для нахождения номера члена арифметической прогрессии воспользуемся формулой n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где:

• $a_n$ — n-й член прогрессии,
• $a_1$ — первый член прогрессии,
• $d$ — разность прогрессии,
• $n$ — номер искомого члена.

Согласно условию задачи, мы имеем:

• $a_n = 180$
• $a_1 = -20$
• $d = 2,5$

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $n$:

$180 = -20 + (n-1) \cdot 2,5$

Теперь решим полученное уравнение:

Перенесем $-20$ в левую часть уравнения, поменяв знак:

$180 + 20 = (n-1) \cdot 2,5$

$200 = (n-1) \cdot 2,5$

Разделим обе части уравнения на $2,5$:

$n - 1 = \frac{200}{2,5}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 10:

$n - 1 = \frac{2000}{25}$

$n - 1 = 80$

Наконец, найдем $n$:

$n = 80 + 1$

$n = 81$

Следовательно, член прогрессии, равный 180, имеет номер 81.

Ответ: 81

6 В арифметической прогрессии $a_1 = 12$, $d = 2,5$. Является ли членом этой прогрессии число 60; число 87?

Чтобы определить, является ли число членом арифметической прогрессии, нужно использовать формулу n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Если при подстановке заданных значений ($a_1=12$, $d=2.5$) и проверяемого числа в качестве $a_n$, мы получим для $n$ натуральное число (целое и положительное), то это число является членом прогрессии.

Проверим, является ли число 60 членом данной прогрессии. Примем $a_n = 60$ и подставим известные значения в формулу:
$60 = 12 + (n-1) \cdot 2.5$
Теперь решим это уравнение относительно $n$:
$60 - 12 = (n-1) \cdot 2.5$
$48 = (n-1) \cdot 2.5$
$n-1 = \frac{48}{2.5}$
$n-1 = 19.2$
$n = 19.2 + 1$
$n = 20.2$
Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, а мы получили дробное число $20.2$, то 60 не является членом этой прогрессии.
Ответ: не является.

Проверим, является ли число 87 членом данной прогрессии. Примем $a_n = 87$:
$87 = 12 + (n-1) \cdot 2.5$
Решим уравнение относительно $n$:
$87 - 12 = (n-1) \cdot 2.5$
$75 = (n-1) \cdot 2.5$
$n-1 = \frac{75}{2.5}$
$n-1 = 30$
$n = 30 + 1$
$n = 31$
Так как мы получили натуральное число $n=31$, то число 87 является 31-м членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: является.

7 Последовательность $-1; -3; -5; \dots$ — арифметическая прогрессия. Найдите $S_{30}$.

Дана арифметическая прогрессия, обозначим её $(a_n)$. Чтобы найти сумму её первых 30 членов ($S_{30}$), нам нужно знать её первый член ($a_1$) и разность ($d$).

Из условия задачи мы видим, что первые члены последовательности: -1; -3; -5; ...

Следовательно, первый член прогрессии $a_1 = -1$.

Разность арифметической прогрессии $d$ можно найти как разность между вторым и первым членами: $d = a_2 - a_1 = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2$.

Теперь мы можем использовать формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу наши значения: $n=30$, $a_1=-1$, $d=-2$. $S_{30} = \frac{2 \cdot (-1) + (-2) \cdot (30-1)}{2} \cdot 30$

Выполним вычисления: $S_{30} = \frac{-2 + (-2) \cdot 29}{2} \cdot 30$ $S_{30} = \frac{-2 - 58}{2} \cdot 30$ $S_{30} = \frac{-60}{2} \cdot 30$ $S_{30} = -30 \cdot 30$ $S_{30} = -900$

Ответ: -900

8 Турист в первый день прошёл 25 км, а в каждый следующий день — на 1,5 км меньше, чем в предыдущий. Какое расстояние он прошёл за неделю?

Для решения этой задачи мы имеем дело с арифметической прогрессией, где каждый следующий член меньше предыдущего на одну и ту же величину.

Первый член прогрессии $a_1$ — это расстояние, пройденное в первый день, и он равен $25$ км. Разность прогрессии $d$ — это величина, на которую изменяется расстояние каждый день. Так как турист проходил на $1,5$ км меньше, то разность будет отрицательной: $d = -1,5$ км. Количество дней, за которые нужно найти общее расстояние, равно количеству дней в неделе, то есть $n = 7$.

Чтобы найти общее расстояние, пройденное за неделю, нужно вычислить сумму первых семи членов этой арифметической прогрессии ($S_7$). Воспользуемся формулой для суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в формулу наши значения: $a_1 = 25$, $d = -1,5$ и $n = 7$.
$S_7 = \frac{2 \cdot 25 + (-1,5) \cdot (7-1)}{2} \cdot 7$
$S_7 = \frac{50 + (-1,5) \cdot 6}{2} \cdot 7$
$S_7 = \frac{50 - 9}{2} \cdot 7$
$S_7 = \frac{41}{2} \cdot 7$
$S_7 = 20,5 \cdot 7$
$S_7 = 143,5$

Таким образом, общее расстояние, которое турист прошёл за неделю, составляет $143,5$ км.

Ответ: 143,5 км.

9 Дана геометрическая прогрессия $120; -60; 30; \dots$. Чему равен её знаменатель?

Найдите 12-й член этой прогрессии.

Чему равен её знаменатель?

Дана геометрическая прогрессия ($b_n$) с членами $b_1 = 120$, $b_2 = -60$, $b_3 = 30$, и так далее.
Знаменатель геометрической прогрессии, обозначаемый как $q$, — это постоянное число, на которое умножается каждый член прогрессии, чтобы получить следующий. Его можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.
Используем первые два члена прогрессии для нахождения $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-60}{120} = -0.5$.
Для проверки можно использовать вторую пару членов, $b_2$ и $b_3$:
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{30}{-60} = -0.5$.
Знаменатель прогрессии действительно равен -0.5.

Ответ: -0.5

Найдите 12-й член этой прогрессии.

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$,
где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель, а $n$ — номер искомого члена.
В нашем случае:
$b_1 = 120$
$q = -0.5 = -\frac{1}{2}$
$n = 12$
Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $b_{12}$:
$b_{12} = 120 \cdot (-\frac{1}{2})^{12-1} = 120 \cdot (-\frac{1}{2})^{11}$.
Вычислим степень:
$(-\frac{1}{2})^{11} = -\frac{1^{11}}{2^{11}} = -\frac{1}{2048}$.
Теперь умножим результат на первый член:
$b_{12} = 120 \cdot (-\frac{1}{2048}) = -\frac{120}{2048}$.
Чтобы упростить дробь, найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Оба числа делятся на 8.
$120 \div 8 = 15$
$2048 \div 8 = 256$
Таким образом, получаем:
$b_{12} = -\frac{15}{256}$.

Ответ: $-\frac{15}{256}$

10 Одна из последовательностей не является геометрической прогрессией. Какая?

1) 3; 9; 27; ...

2) 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; ...

3) 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; ...

4) -3; 9; -27; ...

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное число, не равное нулю. Это число называется знаменателем прогрессии ($q$). Для того чтобы последовательность была геометрической прогрессией, отношение любого её члена к предыдущему должно быть постоянным: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

Проверим каждую из предложенных последовательностей на соответствие этому определению.

1) 3; 9; 27; ...
Найдем отношение второго члена к первому: $q_1 = \frac{9}{3} = 3$.
Найдем отношение третьего члена ко второму: $q_2 = \frac{27}{9} = 3$.
Поскольку отношения равны ($q_1 = q_2$), данная последовательность является геометрической прогрессией.

2) 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; ...
Найдем отношение второго члена к первому: $q_1 = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.
Найдем отношение третьего члена ко второму: $q_2 = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$.
Поскольку отношения равны ($q_1 = q_2$), данная последовательность является геометрической прогрессией.

3) 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; ...
Найдем отношение второго члена к первому: $q_1 = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.
Найдем отношение третьего члена ко второму: $q_2 = \frac{1/3}{1/2} = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$.
Поскольку отношения не равны ($q_1 \neq q_2$), так как $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{3}$, данная последовательность не является геометрической прогрессией.

4) -3; 9; -27; ...
Найдем отношение второго члена к первому: $q_1 = \frac{9}{-3} = -3$.
Найдем отношение третьего члена ко второму: $q_2 = \frac{-27}{9} = -3$.
Поскольку отношения равны ($q_1 = q_2$), данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: 3.

Последовательности $(x_n)$, $(y_n)$ и $(z_n)$ заданы рекуррентным способом:

1) $x_1 = 2$; $x_{n+1} = 3x_n$;

2) $y_1 = 2$; $y_{n+1} = y_n + 3$;

3) $z_1 = 2$; $z_{n+1} = 3 - z_n$.

Какая из этих последовательностей является геометрической прогрессией?

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии. Иными словами, для последовательности $(b_n)$ должно выполняться условие $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$ для всех $n$, где $q$ — постоянное число (знаменатель прогрессии).

Проанализируем каждую из заданных последовательностей.

1) Последовательность $(x_n)$ задана рекуррентно: $x_1 = 2$ и $x_{n+1} = 3x_n$.

Найдем отношение последующего члена к предыдущему:
$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{3x_n}{x_n} = 3$.
Так как отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ является постоянным числом (равно 3), данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $x_1 = 2$ и знаменателем $q = 3$.

Ответ: последовательность $(x_n)$ является геометрической прогрессией.

2) Последовательность $(y_n)$ задана рекуррентно: $y_1 = 2$ и $y_{n+1} = y_n + 3$.

В этой последовательности каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением постоянного числа 3. Это определение арифметической прогрессии, а не геометрической.
Чтобы убедиться, что она не является геометрической, вычислим несколько первых членов и проверим их отношение:
$y_1 = 2$
$y_2 = y_1 + 3 = 2 + 3 = 5$
$y_3 = y_2 + 3 = 5 + 3 = 8$
Отношения:
$\frac{y_2}{y_1} = \frac{5}{2} = 2.5$
$\frac{y_3}{y_2} = \frac{8}{5} = 1.6$
Поскольку $2.5 \neq 1.6$, отношение не является постоянным.

Ответ: последовательность $(y_n)$ не является геометрической прогрессией.

3) Последовательность $(z_n)$ задана рекуррентно: $z_1 = 2$ и $z_{n+1} = 3 - z_n$.

Вычислим несколько первых членов этой последовательности:
$z_1 = 2$
$z_2 = 3 - z_1 = 3 - 2 = 1$
$z_3 = 3 - z_2 = 3 - 1 = 2$
$z_4 = 3 - z_3 = 3 - 2 = 1$
Проверим отношение последовательных членов:
$\frac{z_2}{z_1} = \frac{1}{2}$
$\frac{z_3}{z_2} = \frac{2}{1} = 2$
Поскольку $\frac{1}{2} \neq 2$, отношение не является постоянным.

Ответ: последовательность $(z_n)$ не является геометрической прогрессией.

12 Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии $6; 2; \frac{2}{3}; ...$

Для того чтобы найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, нам необходимо определить ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Из условия задачи мы видим, что первый член прогрессии $b_1 = 6$. Второй член $b_2 = 2$.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ находится как отношение последующего члена к предыдущему:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

Нам нужно найти сумму первых десяти членов, то есть $n=10$. Подставим известные значения $b_1 = 6$, $q = \frac{1}{3}$ и $n=10$ в формулу:
$S_{10} = \frac{6 \cdot (1 - (\frac{1}{3})^{10})}{1 - \frac{1}{3}}$.

Выполним вычисления по шагам. Сначала найдем значение знаменателя:
$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Теперь вычислим выражение в скобках в числителе:
$(\frac{1}{3})^{10} = \frac{1}{3^{10}} = \frac{1}{59049}$.
$1 - \frac{1}{59049} = \frac{59049 - 1}{59049} = \frac{59048}{59049}$.

Подставим полученные значения обратно в формулу для $S_{10}$:
$S_{10} = \frac{6 \cdot \frac{59048}{59049}}{\frac{2}{3}}$.

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$S_{10} = 6 \cdot \frac{59048}{59049} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} \cdot \frac{59048}{59049} = 9 \cdot \frac{59048}{59049}$.

Учитывая, что $59049 = 3^{10} = 9 \cdot 3^8 = 9 \cdot 6561$, мы можем сократить дробь:
$S_{10} = 9 \cdot \frac{59048}{9 \cdot 6561} = \frac{59048}{6561}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$59048 \div 6561 = 8$ (остаток $59048 - 8 \cdot 6561 = 59048 - 52488 = 6560$).
Следовательно, $S_{10} = 8 \frac{6560}{6561}$.

Ответ: $8 \frac{6560}{6561}$.

13 В телевизионной игре за верный ответ на первый вопрос ведущего играющему начисляют 100 р., а за каждый следующий верный ответ выигранная сумма удваивается. Играющий ответил верно на 11 вопросов. Каков его выигрыш?

Сумма выигрыша после каждого верного ответа представляет собой последовательность, являющуюся геометрической прогрессией.

Первый член этой прогрессии $b_1$ — это сумма, полученная за первый верный ответ, то есть $b_1 = 100$ р.

По условию, за каждый следующий верный ответ выигранная сумма удваивается. Это означает, что знаменатель геометрической прогрессии $q$ равен 2.

Чтобы найти выигрыш после 11-го верного ответа, нам нужно найти 11-й член этой геометрической прогрессии ($b_{11}$).

Общая формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии выглядит так: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим в формулу наши значения: $n=11$, $b_1=100$, $q=2$.

$b_{11} = 100 \cdot 2^{11-1} = 100 \cdot 2^{10}$.

Теперь вычислим значение $2^{10}$:

$2^{10} = 1024$.

Итоговый выигрыш составит:

$b_{11} = 100 \cdot 1024 = 102400$ р.

Ответ: 102 400 р.

14 С четверга по воскресенье одной недели число посетителей музея ежедневно увеличивалось в 1,5 раза. Сколько человек посетили музей за эти дни, если в четверг в нём побывало 320 человек?

Для решения задачи необходимо последовательно рассчитать количество посетителей для каждого дня, начиная с четверга, а затем найти их общую сумму.

Четверг
По условию, в этот день музей посетило 320 человек.

Пятница
Число посетителей увеличилось в 1,5 раза по сравнению с четвергом. Вычислим количество посетителей в пятницу:$320 \times 1,5 = 480$ человек.

Суббота
Число посетителей снова увеличилось в 1,5 раза, но уже по сравнению с пятницей:$480 \times 1,5 = 720$ человек.

Воскресенье
Аналогично вычисляем количество посетителей для воскресенья, умножая число за субботу на 1,5:$720 \times 1,5 = 1080$ человек.

Общее количество посетителей за все дни
Теперь сложим количество посетителей за все четыре дня, чтобы найти итоговое значение:$320 + 480 + 720 + 1080 = 2600$ человек.

Ответ: 2600 человек.

15 Ежемесячная оплата услуг ЖКХ в городе N должна вноситься до определённого числа. За каждый просроченный день начисляется дополнительно $1 \%$ от суммы оплаты. Сколько придётся заплатить квартиросъёмщику за январь, если ему начислено 800 р., и он просрочил оплату на 12 дней?

Для того чтобы найти итоговую сумму к оплате, необходимо сначала вычислить размер штрафа (пени) за просрочку, а затем прибавить его к первоначальной сумме.

1. Найдем размер пени за один день просрочки.
Согласно условию, за каждый просроченный день начисляется 1% от суммы оплаты. Сумма оплаты составляет 800 рублей. Найдем 1% от этого числа.

$800 \cdot \frac{1}{100} = 8$ рублей.

Таким образом, пеня за один день просрочки составляет 8 рублей.

2. Найдем общую сумму пени за 12 дней.
Квартиросъемщик просрочил оплату на 12 дней. Умножим размер дневной пени на количество дней просрочки.

$8 \text{ руб./день} \cdot 12 \text{ дней} = 96$ рублей.

3. Рассчитаем итоговую сумму к оплате.
Теперь сложим первоначальную сумму начисления и общую сумму пени, чтобы узнать, сколько всего придется заплатить.

$800 \text{ рублей} + 96 \text{ рублей} = 896$ рублей.

Ответ: 896 рублей.

16 Мяч, брошенный вертикально вниз, после удара о землю подскакивает на высоту, равную 80 % его предыдущей высоты. Мяч был брошен с высоты 2 м. На какую высоту подпрыгнет мяч после третьего удара о землю?

Для решения этой задачи нужно последовательно вычислить высоту, на которую будет подпрыгивать мяч после каждого из трех ударов о землю. Каждый последующий отскок составляет 80% от высоты предыдущего падения.

Сначала представим 80% в виде десятичной дроби: $80\% = \frac{80}{100} = 0.8$.

Высота после первого удара
Начальная высота, с которой был брошен мяч, составляет 2 м. После первого удара мяч подскочит на высоту, равную 80% от начальной:
$2 \text{ м} \times 0.8 = 1.6 \text{ м}$.

Высота после второго удара
Теперь мяч падает с высоты 1,6 м. Высота после второго удара будет равна 80% от этой новой высоты:
$1.6 \text{ м} \times 0.8 = 1.28 \text{ м}$.

Высота после третьего удара
Перед третьим ударом мяч находится на высоте 1,28 м. Следовательно, после третьего удара он подпрыгнет на высоту, равную 80% от этой величины:
$1.28 \text{ м} \times 0.8 = 1.024 \text{ м}$.

Ответ: после третьего удара о землю мяч подпрыгнет на высоту 1,024 м.