Номер 11, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 11, страница 162.

Последовательности $(x_n)$, $(y_n)$ и $(z_n)$ заданы рекуррентным способом:

1) $x_1 = 2$; $x_{n+1} = 3x_n$;

2) $y_1 = 2$; $y_{n+1} = y_n + 3$;

3) $z_1 = 2$; $z_{n+1} = 3 - z_n$.

Какая из этих последовательностей является геометрической прогрессией?

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии. Иными словами, для последовательности $(b_n)$ должно выполняться условие $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$ для всех $n$, где $q$ — постоянное число (знаменатель прогрессии).

Проанализируем каждую из заданных последовательностей.

1) Последовательность $(x_n)$ задана рекуррентно: $x_1 = 2$ и $x_{n+1} = 3x_n$.

Найдем отношение последующего члена к предыдущему:
$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{3x_n}{x_n} = 3$.
Так как отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ является постоянным числом (равно 3), данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $x_1 = 2$ и знаменателем $q = 3$.

Ответ: последовательность $(x_n)$ является геометрической прогрессией.

2) Последовательность $(y_n)$ задана рекуррентно: $y_1 = 2$ и $y_{n+1} = y_n + 3$.

В этой последовательности каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением постоянного числа 3. Это определение арифметической прогрессии, а не геометрической.
Чтобы убедиться, что она не является геометрической, вычислим несколько первых членов и проверим их отношение:
$y_1 = 2$
$y_2 = y_1 + 3 = 2 + 3 = 5$
$y_3 = y_2 + 3 = 5 + 3 = 8$
Отношения:
$\frac{y_2}{y_1} = \frac{5}{2} = 2.5$
$\frac{y_3}{y_2} = \frac{8}{5} = 1.6$
Поскольку $2.5 \neq 1.6$, отношение не является постоянным.

Ответ: последовательность $(y_n)$ не является геометрической прогрессией.

3) Последовательность $(z_n)$ задана рекуррентно: $z_1 = 2$ и $z_{n+1} = 3 - z_n$.

Вычислим несколько первых членов этой последовательности:
$z_1 = 2$
$z_2 = 3 - z_1 = 3 - 2 = 1$
$z_3 = 3 - z_2 = 3 - 1 = 2$
$z_4 = 3 - z_3 = 3 - 2 = 1$
Проверим отношение последовательных членов:
$\frac{z_2}{z_1} = \frac{1}{2}$
$\frac{z_3}{z_2} = \frac{2}{1} = 2$
Поскольку $\frac{1}{2} \neq 2$, отношение не является постоянным.

Ответ: последовательность $(z_n)$ не является геометрической прогрессией.