Номер 12, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 12, страница 162.

12 Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии $6; 2; \frac{2}{3}; ...$

Для того чтобы найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, нам необходимо определить ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Из условия задачи мы видим, что первый член прогрессии $b_1 = 6$. Второй член $b_2 = 2$.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ находится как отношение последующего члена к предыдущему:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

Нам нужно найти сумму первых десяти членов, то есть $n=10$. Подставим известные значения $b_1 = 6$, $q = \frac{1}{3}$ и $n=10$ в формулу:
$S_{10} = \frac{6 \cdot (1 - (\frac{1}{3})^{10})}{1 - \frac{1}{3}}$.

Выполним вычисления по шагам. Сначала найдем значение знаменателя:
$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Теперь вычислим выражение в скобках в числителе:
$(\frac{1}{3})^{10} = \frac{1}{3^{10}} = \frac{1}{59049}$.
$1 - \frac{1}{59049} = \frac{59049 - 1}{59049} = \frac{59048}{59049}$.

Подставим полученные значения обратно в формулу для $S_{10}$:
$S_{10} = \frac{6 \cdot \frac{59048}{59049}}{\frac{2}{3}}$.

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$S_{10} = 6 \cdot \frac{59048}{59049} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} \cdot \frac{59048}{59049} = 9 \cdot \frac{59048}{59049}$.

Учитывая, что $59049 = 3^{10} = 9 \cdot 3^8 = 9 \cdot 6561$, мы можем сократить дробь:
$S_{10} = 9 \cdot \frac{59048}{9 \cdot 6561} = \frac{59048}{6561}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$59048 \div 6561 = 8$ (остаток $59048 - 8 \cdot 6561 = 59048 - 52488 = 6560$).
Следовательно, $S_{10} = 8 \frac{6560}{6561}$.

Ответ: $8 \frac{6560}{6561}$.