Страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

436 В детском магазине за декаду было продано 750 пар обуви. В отделе учёта проводили статистическое исследование и с этой целью записывали размеры каждой пятой проданной пары. Эти числа составили следующий ряд данных:

23, 24, 16, 21, 18, 17, 20, 23, 18, 16, 19, 18, 22, 19, 21, 17, 24, 15, 23, 19, 16, 22, 18, 24, 19, 17, 22, 19, 15, 23, 21, 23, 19, 23, 17, 22, 16, 19, 22, 18, 20, 15, 21, 23, 19, 18, 23, 22, 20, 17, 19, 23, 21, 24, 22, 23, 20, 22, 21, 18, 16, 19, 22, 23, 20, 24, 21, 19, 24, 16, 20, 23, 24, 18, 22, 17, 15, 21, 24, 20, 19, 17, 21, 20, 15, 23, 24, 18, 16, 22, 23, 24, 21, 15, 23, 22, 20, 23, 19, 20, 17, 22, 19, 20, 24, 15, 23, 18, 22, 23, 15, 21, 15, 24, 19, 18, 19, 17, 15, 19, 23, 20, 17, 22, 23, 20, 18, 22, 19, 20, 18, 19, 24, 18, 16, 21, 24, 17, 15, 20, 22, 21, 24, 22, 18, 22, 18, 24, 15, 21.

а) Постройте таблицу частот.

б) Определите моду ряда (самый распространённый размер).

в) Постройте диаграмму частот.

г) Найдите медиану этой выборки.

Для решения задачи сначала проанализируем предоставленный ряд данных. Общее количество проданных пар обуви — 750. В выборку попала каждая пятая пара, следовательно, объем выборки составляет $750 / 5 = 150$ элементов.

а) Постройте таблицу частот.

Для построения таблицы частот необходимо подсчитать, сколько раз каждый уникальный размер обуви встречается в данном ряду. Проведем подсчет для каждого размера от 15 до 24.

• Размер 15: 12 раз
• Размер 16: 8 раз
• Размер 17: 11 раз
• Размер 18: 16 раз
• Размер 19: 19 раз
• Размер 20: 15 раз
• Размер 21: 14 раз
• Размер 22: 19 раз
• Размер 23: 20 раз
• Размер 24: 16 раз

Проверим общее количество: $12 + 8 + 11 + 16 + 19 + 15 + 14 + 19 + 20 + 16 = 150$. Сумма частот совпадает с объемом выборки.

Теперь представим эти данные в виде таблицы.

Ответ: Таблица частот построена выше.

б) Определите моду ряда (самый распространённый размер).

Мода ряда данных — это значение, которое встречается в ряду наиболее часто. Из таблицы частот видно, что наибольшая частота равна 20, и она соответствует размеру 23.

Ответ: Мода ряда равна 23.

в) Постройте диаграмму частот.

Диаграмма частот (столбчатая диаграмма) графически отображает распределение частот. По горизонтальной оси откладываются размеры обуви, а по вертикальной — их частоты. Высота каждого столбца пропорциональна частоте соответствующего размера.

Ответ: Диаграмма частот представлена выше.

г) Найдите медиану этой выборки.

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию ряда данных. Так как объем выборки $N = 150$ (четное число), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных элементов. Номера этих элементов: $N/2 = 150/2 = 75$ и $N/2 + 1 = 76$.

Чтобы найти значения 75-го и 76-го элементов, воспользуемся накопленными частотами:

• Размеры до 15 включительно: 12 элементов.
• Размеры до 16 включительно: $12 + 8 = 20$ элементов.
• Размеры до 17 включительно: $20 + 11 = 31$ элемент.
• Размеры до 18 включительно: $31 + 16 = 47$ элементов.
• Размеры до 19 включительно: $47 + 19 = 66$ элементов.
• Размеры до 20 включительно: $66 + 15 = 81$ элемент.

Из расчета накопленных частот видно, что элементы с 67-го по 81-й в упорядоченном ряду имеют значение 20. Следовательно, 75-й элемент равен 20, и 76-й элемент также равен 20.

Найдем медиану как среднее арифметическое этих двух значений:

$M_e = \frac{20 + 20}{2} = 20$

Ответ: Медиана этой выборки равна 20.

437 На некотором маршруте метрополитена провели исследование пассажиропотока. Для этого каждый час в случайно выбранном вагоне электропоезда на протяжении всего пути считали число пассажиров разных возрастов. Результаты исследования представлены в таблице:

а) Определите час пик — время, когда в вагоне едет наибольшее число людей.

б) Найдите время, когда частота возрастной категории от 31 до 40 лет максимальна.

в) Какой процент от всех пассажиров вагона, отправившегося в 11 ч 30 мин, составляют люди в возрасте от 21 до 50 лет?

а) Определите час пик — время, когда в вагоне едет наибольшее число людей.

Для определения часа пик необходимо вычислить общее количество пассажиров в вагоне для каждого указанного времени. Для этого нужно просуммировать количество пассажиров всех возрастных категорий (значения в каждом столбце таблицы).

• 6 ч 30 мин: $1 + 3 + 9 + 15 + 12 + 15 + 4 + 1 + 0 = 60$
• 7 ч 30 мин: $3 + 5 + 11 + 25 + 36 + 31 + 9 + 4 + 2 = 126$
• 8 ч 30 мин: $5 + 15 + 20 + 38 + 50 + 43 + 24 + 5 + 0 = 200$
• 9 ч 30 мин: $13 + 20 + 18 + 35 + 42 + 36 + 17 + 5 + 3 = 189$
• 10 ч 30 мин: $16 + 11 + 15 + 17 + 37 + 29 + 16 + 6 + 1 = 148$
• 11 ч 30 мин: $11 + 5 + 7 + 15 + 18 + 12 + 14 + 6 + 2 = 90$

Сравнивая полученные результаты, видим, что максимальное количество пассажиров (200 человек) было зафиксировано в 8 ч 30 мин.

Ответ: час пик — 8 ч 30 мин.

б) Найдите время, когда частота возрастной категории от 31 до 40 лет максимальна.

Для ответа на этот вопрос нужно найти наибольшее значение в строке, соответствующей возрастной категории "31–40 лет".

Данные для этой категории по времени:

• 6 ч 30 мин: 12
• 7 ч 30 мин: 36
• 8 ч 30 мин: 50
• 9 ч 30 мин: 42
• 10 ч 30 мин: 37
• 11 ч 30 мин: 18

Максимальное число пассажиров в этой возрастной группе равно 50, что соответствует времени 8 ч 30 мин.

Ответ: 8 ч 30 мин.

в) Какой процент от всех пассажиров вагона, отправившегося в 11 ч 30 мин, составляют люди в возрасте от 21 до 50 лет?

1. Сначала определим общее количество пассажиров в вагоне в 11 ч 30 мин. Как было рассчитано в пункте а), это 90 человек.

2. Затем найдем количество пассажиров в возрасте от 21 до 50 лет в это же время. Для этого сложим данные из строк "21–30 лет", "31–40 лет" и "41–50 лет" для столбца "11 ч 30 мин":

$15 + 18 + 12 = 45$ человек.

3. Теперь рассчитаем процентное соотношение:

$\frac{\text{число пассажиров от 21 до 50 лет}}{\text{общее число пассажиров}} \times 100\% = \frac{45}{90} \times 100\% = 0.5 \times 100\% = 50\%$

Ответ: 50%.

438 Фирма «Бурёнка и компания» производит и продаёт молоко разной жирности. Объёмы продаж за месяц сведены в диаграмме на рисунке 5.2.

Объём продаж, %

Жирность молока, %

Рис. 5.2

а) Определите наиболее популярный сорт молока.

б) Какой процент проданного количества молока составляет полностью обезжиренное молоко?

в) Считая, что всего было продано 40 000 литров молока, составьте таблицу частот.

г) Определите средний процент жирности молока.

а) Определите наиболее популярный сорт молока.

Чтобы определить наиболее популярный сорт молока, необходимо найти на диаграмме столбец с наибольшей высотой. Самый высокий столбец соответствует объёму продаж в 30%. Посмотрев на ось "Жирность молока, %", мы видим, что этот объём продаж относится к молоку с жирностью 3,5%.

Ответ: Наиболее популярный сорт молока — с жирностью 3,5%.

б) Какой процент проданного количества молока составляет полностью обезжиренное молоко?

Полностью обезжиренное молоко — это молоко с жирностью 0,0%. Согласно диаграмме, столбец, соответствующий жирности 0,0%, достигает отметки 10% на оси "Объём продаж, %".

Ответ: 10%.

в) Считая, что всего было продано 40 000 литров молока, составьте таблицу частот.

Для составления таблицы частот необходимо рассчитать объём продаж в литрах для каждого сорта молока, используя данные о процентном соотношении из диаграммы и общий объём продаж (40 000 литров).

• 0,0% жирности: $40\,000 \cdot 0,10 = 4\,000$ л
• 0,5% жирности: $40\,000 \cdot 0,05 = 2\,000$ л
• 1,0% жирности: $40\,000 \cdot 0,05 = 2\,000$ л
• 1,5% жирности: $40\,000 \cdot 0,15 = 6\,000$ л
• 2,5% жирности: $40\,000 \cdot 0,20 = 8\,000$ л
• 3,5% жирности: $40\,000 \cdot 0,30 = 12\,000$ л
• 5,0% жирности: $40\,000 \cdot 0,15 = 6\,000$ л

Ответ: Таблица частот (объёмов продаж в литрах):

г) Определите средний процент жирности молока.

Средний процент жирности молока можно рассчитать как средневзвешенное значение, где значения — это проценты жирности, а веса — соответствующие им доли продаж (в процентах). Формула среднего взвешенного:

$ \text{Средняя жирность} = \frac{\sum(\text{жирность}_i \cdot \text{доля продаж}_i)}{\sum(\text{доля продаж}_i)} $

Подставляем значения из диаграммы:

$ \text{Средняя жирность} = \frac{(0,0 \cdot 10) + (0,5 \cdot 5) + (1,0 \cdot 5) + (1,5 \cdot 15) + (2,5 \cdot 20) + (3,5 \cdot 30) + (5,0 \cdot 15)}{10 + 5 + 5 + 15 + 20 + 30 + 15} $

$ \text{Средняя жирность} = \frac{0 + 2,5 + 5 + 22,5 + 50 + 105 + 75}{100} = \frac{260}{100} = 2,6\% $

Ответ: 2,6%.