Страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

441 Используя таблицу, составленную по информации из № 437, постройте гистограмму частот по возрастам пассажиров для поезда, отправляющегося в 6 ч 30 мин.

Для построения гистограммы частот по возрасту пассажиров на основе предоставленной таблицы необходимо начертить систему координат и отобразить данные в виде столбчатой диаграммы. Гистограмма состоит из примыкающих друг к другу прямоугольников, где основание каждого прямоугольника соответствует интервалу данных, а высота — частоте (количеству) попаданий в этот интервал.

Построение гистограммы выполняется пошагово:

1. Определение и разметка осей. Чертим горизонтальную ось (ось абсцисс) для возрастных интервалов и вертикальную ось (ось ординат) для числа пассажиров. Горизонтальную ось размечаем последовательными отрезками, соответствующими возрастным группам из таблицы: «до 7», «7–10», «11–20» и т.д. Вертикальную ось размечаем для отображения частот. Поскольку максимальная частота равна 15, можно выбрать масштаб от 0 до 16 с шагом в 2 единицы.
2. Построение столбцов. Для каждого возрастного интервала на горизонтальной оси строим прямоугольный столбец. Основание столбца соответствует интервалу, а его высота равна числу пассажиров в данной группе. Столбцы должны примыкать друг к другу, показывая непрерывность данных.
   • Для интервала «до 7» высота столбца равна 1.
   • Для интервала «7–10» высота столбца равна 3.
   • Для интервала «11–20» высота столбца равна 9.
   • Для интервала «21–30» высота столбца равна 15.
   • Для интервала «31–40» высота столбца равна 12.
   • Для интервала «41–50» высота столбца равна 15.
   • Для интервала «51–60» высота столбца равна 4.
   • Для интервала «61–70» высота столбца равна 1.
   • Для интервала «старше 70» высота столбца равна 0 (столбец отсутствует).

Полученная гистограмма наглядно демонстрирует распределение пассажиров по возрасту. Видно, что наибольшее количество пассажиров (по 15 человек) приходится на возрастные группы «21–30 лет» и «41–50 лет», а наименьшее — на группы «до 7 лет» и «61–70 лет».

Ответ: Для построения гистограммы необходимо на плоскости с осями «Возраст, лет» и «Число пассажиров» изобразить восемь примыкающих друг к другу прямоугольных столбцов. Высоты столбцов для каждого возрастного интервала, начиная с «до 7» и далее по порядку, равны: 1, 3, 9, 15, 12, 15, 4, 1. Для интервала «старше 70» высота столбца равна 0.

442 В таблице приведены данные по температуре в городе N в июне 2014 г. и в июне 2015 г. В ней отражена информация о ежедневных наблюдениях.

а) Вычислите средние температуры за июнь в 2014 г. и в 2015 г. В каком году средняя температура в июне была выше?

б) Постройте гистограмму частот для 2014 г.

а)

Для вычисления средней температуры за июнь в каждом году необходимо найти среднее взвешенное значение. Для этого сначала определим середины для каждого температурного интервала. Середина интервала находится как среднее арифметическое его границ.

• Интервал 14–18 °C: середина $ (14 + 18) / 2 = 16 $ °C
• Интервал 18–22 °C: середина $ (18 + 22) / 2 = 20 $ °C
• Интервал 22–26 °C: середина $ (22 + 26) / 2 = 24 $ °C
• Интервал 26–30 °C: середина $ (26 + 30) / 2 = 28 $ °C
• Интервал 30–34 °C: середина $ (30 + 34) / 2 = 32 $ °C

Общее количество дней в июне — 30. Проверим сумму дней по таблице для каждого года:

Для 2014 г.: $ 2 + 9 + 12 + 6 + 1 = 30 $ дней.

Для 2015 г.: $ 1 + 6 + 15 + 3 + 5 = 30 $ дней.

Теперь вычислим среднюю температуру для каждого года, умножая середину каждого интервала на соответствующее количество дней (частоту) и разделив сумму этих произведений на общее количество дней.

Средняя температура за июнь 2014 г.:

$ T_{ср, 2014} = \frac{16 \cdot 2 + 20 \cdot 9 + 24 \cdot 12 + 28 \cdot 6 + 32 \cdot 1}{30} = \frac{32 + 180 + 288 + 168 + 32}{30} = \frac{700}{30} \approx 23,33 $ °C.

Средняя температура за июнь 2015 г.:

$ T_{ср, 2015} = \frac{16 \cdot 1 + 20 \cdot 6 + 24 \cdot 15 + 28 \cdot 3 + 32 \cdot 5}{30} = \frac{16 + 120 + 360 + 84 + 160}{30} = \frac{740}{30} \approx 24,67 $ °C.

Сравним полученные средние температуры:

$ 24,67 $ °C $ > 23,33 $ °C.

Таким образом, средняя температура в июне была выше в 2015 году.

Ответ: Средняя температура в 2014 г. составила примерно $23,33$ °C, а в 2015 г. — примерно $24,67$ °C. Средняя температура была выше в 2015 году.

б)

Гистограмма частот для 2014 г. представляет собой диаграмму, где по горизонтальной оси отложены температурные интервалы, а по вертикальной оси — количество дней (частота). Высота каждого столбца гистограммы соответствует частоте данного интервала.

Ответ: Гистограмма частот для данных 2014 г. построена выше.

443 На гистограмме (рис. 5.5) представлены данные о площадях квартир в одном из микрорайонов города N. Всего в выборке 1500 квартир.

а) Составьте таблицу частот для срединных значений каждого интервала, указанного на гистограмме.

б) Найдите среднюю площадь квартиры в исследуемом микрорайоне.

Puc. 5.5

Количество квартир, %

Жилая площадь, кв. м

а)

Для составления таблицы частот необходимо определить срединные значения для каждого интервала, указанного на гистограмме, и найти соответствующую им абсолютную частоту. Общее количество квартир в выборке — 1500.

Проанализируем данные гистограммы:

1. Интервал 25-35 кв. м.
   Срединное значение: $(25 + 35) / 2 = 30$ кв. м.
   Относительная частота (высота столбца): 20%.
   Абсолютная частота: $1500 \cdot 0.20 = 300$ квартир.
2. Интервал 35-45 кв. м.
   Срединное значение: $(35 + 45) / 2 = 40$ кв. м.
   Относительная частота: 30%.
   Абсолютная частота: $1500 \cdot 0.30 = 450$ квартир.
3. Интервал 45-55 кв. м.
   Срединное значение: $(45 + 55) / 2 = 50$ кв. м.
   Относительная частота: 20%.
   Абсолютная частота: $1500 \cdot 0.20 = 300$ квартир.
4. Интервал 55-65 кв. м.
   Срединное значение: $(55 + 65) / 2 = 60$ кв. м.
   Относительная частота: 15%.
   Абсолютная частота: $1500 \cdot 0.15 = 225$ квартир.
5. Интервал 65-75 кв. м.
   Срединное значение: $(65 + 75) / 2 = 70$ кв. м.
   Относительная частота: 10%.
   Абсолютная частота: $1500 \cdot 0.10 = 150$ квартир.
6. Интервал 75-85 кв. м.
   Срединное значение: $(75 + 85) / 2 = 80$ кв. м.
   Относительная частота: 5%.
   Абсолютная частота: $1500 \cdot 0.05 = 75$ квартир.

Сведем полученные данные в таблицу.

Ответ:

б)

Средняя площадь квартиры находится как среднее арифметическое взвешенное. Для этого нужно умножить каждое срединное значение площади на соответствующую ему относительную частоту (в долях), а затем сложить полученные произведения.

Средняя площадь $\bar{x}$ вычисляется по формуле:

$\bar{x} = x_1 \cdot w_1 + x_2 \cdot w_2 + \dots + x_n \cdot w_n$

где $x_i$ — срединное значение площади, а $w_i$ — соответствующая относительная частота в долях.

Подставим значения из таблицы:

$\bar{x} = (30 \cdot 0.20) + (40 \cdot 0.30) + (50 \cdot 0.20) + (60 \cdot 0.15) + (70 \cdot 0.10) + (80 \cdot 0.05)$

Выполним вычисления:

$\bar{x} = 6 + 12 + 10 + 9 + 7 + 4 = 48$

Таким образом, средняя площадь квартиры в исследуемом микрорайоне составляет 48 кв. м.

Ответ: 48 кв. м.

444 В небоскрёбе 90 этажей. За день лифт вызывали на каждый этаж несколько раз: на первый этаж лифт вызывали 29 раз, на второй — 9 раз, на третий — 27 раз и т.д. К вечеру получилось, что число вызовов составляет следующий ряд (в порядке возрастания порядкового номера этажа):

29, 9, 27, 11, 18, 6, 20, 21, 7, 12, 25, 28, 22, 21, 19, 23, 15, 24, 13, 19, 17, 26, 17, 24, 8, 10, 13, 16, 27, 15, 14, 27, 11, 20, 9, 15, 6, 17, 22, 23, 12, 19, 7, 16, 24, 12, 5, 14, 26, 15, 10, 21, 17, 8, 25, 18, 29, 21, 17, 15, 28, 12, 26, 22, 10, 26, 11, 18, 16, 22, 29, 13, 6, 20, 7, 19, 23, 28, 13, 5, 20, 14, 7, 15, 16, 19, 8, 22, 18, 14.

а) Постройте для данного ряда интервальный ряд.

Подсказка. Определите размах ряда, возьмите длину промежутка, равную 4 единицам, и вычислите границы интервалов.

б) Для интервального ряда составьте таблицу частот.

в) Постройте гистограмму частот.

Для решения задачи проанализируем предоставленный ряд данных о количестве вызовов лифта на 90 этажей.

Исходный ряд данных (всего 90 значений): 29, 9, 27, 11, 18, 6, 20, 21, 7, 12, 25, 28, 22, 21, 19, 23, 15, 24, 13, 19, 17, 26, 17, 24, 8, 10, 13, 16, 27, 15, 14, 27, 11, 20, 9, 15, 6, 17, 22, 23, 12, 19, 7, 16, 24, 12, 5, 14, 26, 15, 10, 21, 17, 8, 25, 18, 29, 21, 17, 15, 28, 12, 26, 22, 10, 26, 11, 18, 16, 22, 29, 13, 6, 20, 7, 19, 23, 28, 13, 5, 20, 14, 7, 15, 16, 19, 8, 22, 18, 14.

Чтобы построить интервальный ряд, следуем подсказке: определим размах ряда, выберем длину промежутка и вычислим границы интервалов.

1. Найдем минимальное и максимальное значения в ряду данных.

   Минимальное значение: $x_{min} = 5$.

   Максимальное значение: $x_{max} = 29$.

2. Вычислим размах ряда R:

   $R = x_{max} - x_{min} = 29 - 5 = 24$.

3. Согласно подсказке, возьмем длину промежутка (интервала) $h=4$.

4. Определим границы интервалов. Начнем первый интервал с минимального значения $x_{min} = 5$. Будем использовать полуинтервалы вида $[a, b)$, где значение $a$ включается в интервал, а $b$ — нет.

   • 1-й интервал: $[5; 9)$ (включает значения 5, 6, 7, 8)
   • 2-й интервал: $[9; 13)$ (включает значения 9, 10, 11, 12)
   • 3-й интервал: $[13; 17)$ (включает значения 13, 14, 15, 16)
   • 4-й интервал: $[17; 21)$ (включает значения 17, 18, 19, 20)
   • 5-й интервал: $[21; 25)$ (включает значения 21, 22, 23, 24)
   • 6-й интервал: $[25; 29)$ (включает значения 25, 26, 27, 28)
   • 7-й интервал: $[29; 33)$ (включает значение 29 и покрывает $x_{max}$)

Ответ: Интервальный ряд состоит из следующих промежутков: $[5; 9), [9; 13), [13; 17), [17; 21), [21; 25), [25; 29), [29; 33)$.

Теперь подсчитаем, сколько значений из исходного ряда попадает в каждый из полученных интервалов. Это и будет частота для каждого интервала.

• Интервал $[5; 9)$: значения 5, 6, 7, 8. В ряду встречаются: 5 (2 раза), 6 (3 раза), 7 (4 раза), 8 (3 раза).
  Частота: $2 + 3 + 4 + 3 = 12$.
• Интервал $[9; 13)$: значения 9, 10, 11, 12. В ряду встречаются: 9 (2 раза), 10 (3 раза), 11 (3 раза), 12 (4 раза).
  Частота: $2 + 3 + 3 + 4 = 12$.
• Интервал $[13; 17)$: значения 13, 14, 15, 16. В ряду встречаются: 13 (4 раза), 14 (4 раза), 15 (6 раз), 16 (4 раза).
  Частота: $4 + 4 + 6 + 4 = 18$.
• Интервал $[17; 21)$: значения 17, 18, 19, 20. В ряду встречаются: 17 (5 раз), 18 (4 раза), 19 (5 раз), 20 (4 раза).
  Частота: $5 + 4 + 5 + 4 = 18$.
• Интервал $[21; 25)$: значения 21, 22, 23, 24. В ряду встречаются: 21 (4 раза), 22 (6 раз), 23 (3 раза), 24 (3 раза).
  Частота: $4 + 6 + 3 + 3 = 16$.
• Интервал $[25; 29)$: значения 25, 26, 27, 28. В ряду встречаются: 25 (2 раза), 26 (4 раза), 27 (3 раза), 28 (3 раза).
  Частота: $2 + 4 + 3 + 3 = 12$.
• Интервал $[29; 33)$: значение 29. В ряду встречается 3 раза.
  Частота: $3$.

Проверим общую сумму частот: $12 + 12 + 18 + 18 + 16 + 12 + 3 = 91$.
Сумма частот равна 91, в то время как в условии указано 90 этажей (и в списке 90 чисел). Это указывает на возможную опечатку в исходных данных задачи. В решении используются частоты, полученные при подсчете по предоставленному числовому ряду.

Ответ: Таблица частот для интервального ряда:

Гистограмма частот — это столбчатая диаграмма, где основаниями столбцов являются интервалы значений, а высоты столбцов равны соответствующим частотам. Столбцы гистограммы примыкают друг к другу.

• По горизонтальной оси (ось Ox) откладываются интервалы числа вызовов.
• По вертикальной оси (ось Oy) откладывается частота.

Гистограмма будет состоять из 7 прямоугольников:

1. Для интервала $[5; 9)$ высота прямоугольника равна 12.
2. Для интервала $[9; 13)$ высота прямоугольника равна 12.
3. Для интервала $[13; 17)$ высота прямоугольника равна 18.
4. Для интервала $[17; 21)$ высота прямоугольника равна 18.
5. Для интервала $[21; 25)$ высота прямоугольника равна 16.
6. Для интервала $[25; 29)$ высота прямоугольника равна 12.
7. Для интервала $[29; 33)$ высота прямоугольника равна 3.

Ответ: Гистограмма частот строится на основе таблицы частот. Она представляет собой 7 примыкающих прямоугольников, основания которых — интервалы $[5; 9), [9; 13), \dots, [29; 33)$ на оси абсцисс, а высоты равны соответствующим частотам: 12, 12, 18, 18, 16, 12, 3.