Страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

456 В лаборатории две группы мышей, их масса (в граммах) по группам указана ниже.

Группа А: 26, 25, 33, 21, 26, 22, 29, 31, 29, 32.

Группа B: 34, 21, 33, 31, 24, 32, 28, 32, 30, 26.

Для ряда данных каждой группы вычислите среднее арифметическое и стандартное отклонение. Выберите группу, для которой верно высказывание:

а) средняя масса мышей в этой группе выше, чем в другой;

б) для этой группы вероятность того, что случайным образом выбранная мышь имеет массу, близкую к максимальному, выше, чем для другой группы;

в) для этой группы вероятность того, что случайным образом выбранная мышь имеет массу, близкую к среднему значению, выше, чем для другой группы.

Для решения задачи сначала необходимо вычислить среднее арифметическое и стандартное отклонение для каждой группы мышей.

Расчеты для Группы А

Данные: $X_A = \{26, 25, 33, 21, 26, 22, 29, 31, 29, 32\}$.

Количество мышей в группе: $n_A = 10$.

1. Среднее арифметическое ($\bar{x}_A$): сумма всех масс, деленная на количество мышей.

Сумма масс: $26 + 25 + 33 + 21 + 26 + 22 + 29 + 31 + 29 + 32 = 274$ г.

$\bar{x}_A = \frac{274}{10} = 27.4$ г.

2. Стандартное отклонение ($\sigma_A$): корень из дисперсии. Дисперсия — это среднее значение квадратов отклонений от среднего.

Сумма квадратов отклонений: $(26-27.4)^2 + (25-27.4)^2 + (33-27.4)^2 + (21-27.4)^2 + (26-27.4)^2 + (22-27.4)^2 + (29-27.4)^2 + (31-27.4)^2 + (29-27.4)^2 + (32-27.4)^2 = 1.96 + 5.76 + 31.36 + 40.96 + 1.96 + 29.16 + 2.56 + 12.96 + 2.56 + 21.16 = 150.4$.

Дисперсия: $\sigma_A^2 = \frac{150.4}{10} = 15.04$.

Стандартное отклонение: $\sigma_A = \sqrt{15.04} \approx 3.88$ г.

Расчеты для Группы B

Данные: $X_B = \{34, 21, 33, 31, 24, 32, 28, 32, 30, 26\}$.

Количество мышей в группе: $n_B = 10$.

1. Среднее арифметическое ($\bar{x}_B$):

Сумма масс: $34 + 21 + 33 + 31 + 24 + 32 + 28 + 32 + 30 + 26 = 291$ г.

$\bar{x}_B = \frac{291}{10} = 29.1$ г.

2. Стандартное отклонение ($\sigma_B$):

Сумма квадратов отклонений: $(34-29.1)^2 + (21-29.1)^2 + (33-29.1)^2 + (31-29.1)^2 + (24-29.1)^2 + (32-29.1)^2 + (28-29.1)^2 + (32-29.1)^2 + (30-29.1)^2 + (26-29.1)^2 = 24.01 + 65.61 + 15.21 + 3.61 + 26.01 + 8.41 + 1.21 + 8.41 + 0.81 + 9.61 = 162.9$.

Дисперсия: $\sigma_B^2 = \frac{162.9}{10} = 16.29$.

Стандартное отклонение: $\sigma_B = \sqrt{16.29} \approx 4.04$ г.

Теперь ответим на вопросы, используя полученные данные:

• Группа А: среднее $\bar{x}_A = 27.4$ г, стандартное отклонение $\sigma_A \approx 3.88$ г.
• Группа B: среднее $\bar{x}_B = 29.1$ г, стандартное отклонение $\sigma_B \approx 4.04$ г.

а) средняя масса мышей в этой группе выше, чем в другой;

Сравниваем средние значения: $\bar{x}_A = 27.4$ г и $\bar{x}_B = 29.1$ г. Поскольку $29.1 > 27.4$, средняя масса выше в группе B.

Ответ: Группа B.

б) для этой группы вероятность того, что случайным образом выбранная мышь имеет массу, близкую к максимальному, выше, чем для другой группы;

Найдем максимальные значения в каждой группе и посчитаем количество мышей с массой, близкой к максимальной. Будем считать "близкой" массу, которая находится в пределах 2 грамм от максимума (включительно).

В группе A максимальная масса — 33 г. Массы в диапазоне $[33-2, 33]$, то есть $[31, 33]$: это 31, 32, 33. Таких мышей 3. Вероятность $P_A = \frac{3}{10} = 0.3$.

В группе B максимальная масса — 34 г. Массы в диапазоне $[34-2, 34]$, то есть $[32, 34]$: это 32, 32, 33, 34. Таких мышей 4. Вероятность $P_B = \frac{4}{10} = 0.4$.

Поскольку $0.4 > 0.3$, вероятность выбрать мышь с массой, близкой к максимальной, выше для группы B.

Ответ: Группа B.

в) для этой группы вероятность того, что случайным образом выбранная мышь имеет массу, близкую к среднему значению, выше, чем для другой группы.

Стандартное отклонение является мерой разброса данных вокруг среднего значения. Чем меньше стандартное отклонение, тем плотнее данные сгруппированы вокруг среднего, и, следовательно, выше вероятность выбрать значение, близкое к нему.

Сравним стандартные отклонения: $\sigma_A \approx 3.88$ г и $\sigma_B \approx 4.04$ г.

Поскольку $\sigma_A < \sigma_B$ ($3.88 < 4.04$), значения массы в группе А в среднем меньше отклоняются от своего среднего значения. Это означает, что для группы А вероятность выбрать мышь с массой, близкой к средней, выше.

Ответ: Группа А.

457 МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС Спортивные аналитики оценивают футбольные команды по некоторому набору параметров, например по количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т.п. Чем меньше у команды стандартное отклонение по каждому параметру, тем более сбалансированной является команда. Чем больше стандартное отклонение, тем менее она сбалансирована, например, у команды сильное нападение, но слабая защита. Найдите в СМИ необходимую информацию и проанализируйте сбалансированность команд, занявших на последнем чемпионате России по футболу первые три места. (Аналогичное задание можно выполнить и для других видов спорта: баскетбола, хоккея и пр.) Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет оценить сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемые способы борьбы.

Для анализа сбалансированности команд, занявших первые три места на последнем завершенном чемпионате России по футболу (сезон 2022/2023), мы будем использовать статистические данные по двум ключевым параметрам: количество забитых голов (ЗГ) и количество пропущенных голов (ПГ) за сезон. Сбалансированность команды мы оценим с помощью среднеквадратического (стандартного) отклонения. Чем меньше это значение, тем более сбалансированной является игра команды в атаке и обороне.

Формула для расчета среднеквадратического отклонения ($σ$) для набора данных из двух значений ($x_1$ и $x_2$):

$σ = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2}{2}}$

где $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2}{2}$ — среднее арифметическое значение.

По итогам сезона 2022/2023 Российской Премьер-Лиги, первые три места заняли: «Зенит», «ЦСКА» и «Спартак».

1. «Зенит» (Санкт-Петербург) – 1-е место

Статистические показатели команды за сезон:

• Забитые голы (ЗГ): $x_1 = 74$
• Пропущенные голы (ПГ): $x_2 = 20$

Сначала найдем среднее арифметическое этих двух параметров:

$\bar{x} = \frac{74 + 20}{2} = \frac{94}{2} = 47$

Теперь рассчитаем среднеквадратическое отклонение:

$σ_{Зенит} = \sqrt{\frac{(74 - 47)^2 + (20 - 47)^2}{2}} = \sqrt{\frac{27^2 + (-27)^2}{2}} = \sqrt{\frac{729 + 729}{2}} = \sqrt{\frac{1458}{2}} = \sqrt{729} = 27$

Ответ: Среднеквадратическое отклонение для «Зенита» составляет 27.

2. «ЦСКА» (Москва) – 2-е место

Статистические показатели команды за сезон:

• Забитые голы (ЗГ): $x_1 = 56$
• Пропущенные голы (ПГ): $x_2 = 27$

Найдем среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{56 + 27}{2} = \frac{83}{2} = 41.5$

Рассчитаем среднеквадратическое отклонение:

$σ_{ЦСКА} = \sqrt{\frac{(56 - 41.5)^2 + (27 - 41.5)^2}{2}} = \sqrt{\frac{14.5^2 + (-14.5)^2}{2}} = \sqrt{\frac{210.25 + 210.25}{2}} = \sqrt{\frac{420.5}{2}} = \sqrt{210.25} = 14.5$

Ответ: Среднеквадратическое отклонение для «ЦСКА» составляет 14.5.

3. «Спартак» (Москва) – 3-е место

Статистические показатели команды за сезон:

• Забитые голы (ЗГ): $x_1 = 60$
• Пропущенные голы (ПГ): $x_2 = 38$

Найдем среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{60 + 38}{2} = \frac{98}{2} = 49$

Рассчитаем среднеквадратическое отклонение:

$σ_{Спартак} = \sqrt{\frac{(60 - 49)^2 + (38 - 49)^2}{2}} = \sqrt{\frac{11^2 + (-11)^2}{2}} = \sqrt{\frac{121 + 121}{2}} = \sqrt{\frac{242}{2}} = \sqrt{121} = 11$

Ответ: Среднеквадратическое отклонение для «Спартака» составляет 11.

Анализ и выводы

Сравнив полученные значения среднеквадратического отклонения для трех команд, мы можем сделать выводы об их сбалансированности:

• «Спартак»: $σ = 11$
• «ЦСКА»: $σ = 14.5$
• «Зенит»: $σ = 27$

Согласно условию, чем меньше стандартное отклонение, тем более сбалансированной является команда. Таким образом, рейтинг команд по сбалансированности (от наиболее к наименее сбалансированной) выглядит следующим образом: «Спартак», «ЦСКА», «Зенит».

Это означает, что у «Спартака» показатели атаки (60 голов) и защиты (38 голов) наиболее близки друг к другу, что говорит о равномерном уровне игры в обеих линиях. «Зенит», несмотря на чемпионство, демонстрирует наибольший дисбаланс по данной методике. Это не означает слабую защиту, наоборот, команда обладает и самой сильной атакой (74 гола), и самой надежной обороной (20 голов). Однако огромная разница между этими двумя показателями дает высокое значение стандартного отклонения, характеризуя «Зенит» как команду с чрезвычайно доминирующей атакой по сравнению с ее же (очень сильной) обороной.

Ответ: Наиболее сбалансированной командой из тройки лидеров является «Спартак» ($σ = 11$), за ним следует «ЦСКА» ($σ = 14.5$), а наименее сбалансированным по соотношению забитых и пропущенных мячей является чемпион «Зенит» ($σ = 27$).

458 Что можно сказать о ряде чисел, в котором:

а) размах равен 0;

б) дисперсия равна 0?

а) Размах ряда чисел — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду. Пусть дан ряд чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Обозначим наибольшее значение как $x_{max}$, а наименьшее — как $x_{min}$. Тогда размах $R$ вычисляется по формуле:
$R = x_{max} - x_{min}$
По условию задачи, размах равен 0:
$x_{max} - x_{min} = 0$
Из этого равенства следует, что $x_{max} = x_{min}$.
Поскольку все числа в ряду находятся в промежутке от наименьшего до наибольшего значения (включительно), то есть для любого числа $x_i$ из ряда выполняется неравенство $x_{min} \le x_i \le x_{max}$, то при условии $x_{max} = x_{min}$ все числа $x_i$ должны быть равны этому общему значению.
Следовательно, если размах ряда чисел равен 0, это означает, что все числа в этом ряду одинаковы.
Ответ: все числа в ряду равны между собой.

б) Дисперсия — это мера разброса данных, которая показывает, насколько значения в ряду отклоняются от их среднего арифметического. Она вычисляется как среднее арифметическое квадратов отклонений каждого числа ряда от их среднего значения.
Пусть дан ряд чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Их среднее арифметическое $\bar{x}$ равно:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Дисперсия $D$ вычисляется по формуле:
$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$
По условию, дисперсия равна 0:
$\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n} = 0$
Это равенство возможно только тогда, когда числитель равен нулю:
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 0$
Каждое слагаемое в этой сумме, $(x_i - \bar{x})^2$, является квадратом действительного числа, поэтому оно не может быть отрицательным (то есть $(x_i - \bar{x})^2 \ge 0$). Сумма неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю.
Следовательно, для каждого $i$ от 1 до $n$:
$(x_i - \bar{x})^2 = 0$, что означает $x_i - \bar{x} = 0$, или $x_i = \bar{x}$.
Таким образом, если дисперсия ряда равна 0, это означает, что каждое число в ряду равно среднему арифметическому этого ряда. А это возможно только если все числа в ряду одинаковы.
Ответ: все числа в ряду равны между собой.

459 Докажите следующие утверждения:

а) в любом ряду данных сумма отклонений данных от их среднего арифметического равна 0;

б) дисперсия любого ряда данных не отрицательна;

в) если каждое число ряда данных увеличить на одно и то же число, то дисперсия не изменится.

а) Пусть дан ряд данных $x_1, x_2, \dots, x_n$. Его среднее арифметическое $\bar{x}$ равно $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$. Сумма отклонений данных от их среднего арифметического представляет собой выражение $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})$. Раскроем скобки в сумме: $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}\bar{x}$. Так как $\bar{x}$ является постоянной величиной для всех членов ряда, сумма $\sum_{i=1}^{n}\bar{x}$ равна $n\bar{x}$. Следовательно, выражение можно переписать как $\sum_{i=1}^{n}x_i - n\bar{x}$. Из определения среднего арифметического $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$ следует, что $\sum_{i=1}^{n}x_i = n\bar{x}$. Подставляя это равенство в наше выражение, получаем $n\bar{x} - n\bar{x} = 0$, что и доказывает утверждение.
Ответ: Сумма отклонений данных от их среднего арифметического в любом ряду данных равна 0.

б) Дисперсия $D$ ряда данных по определению равна среднему арифметическому квадратов отклонений от среднего: $D = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$. Для любого элемента ряда $x_i$, отклонение $(x_i - \bar{x})$ является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x_i - \bar{x})^2 \ge 0$. Сумма неотрицательных слагаемых $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$ также будет неотрицательной. Количество данных в ряду $n$ является положительным целым числом ($n > 0$). Следовательно, дисперсия, как результат деления неотрицательного числа на положительное, сама является неотрицательной величиной: $D \ge 0$.
Ответ: Дисперсия любого ряда данных не отрицательна.

в) Пусть исходный ряд данных — $x_1, x_2, \dots, x_n$, его среднее арифметическое — $\bar{x}$, а дисперсия — $D_x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$. Рассмотрим новый ряд данных $y_1, y_2, \dots, y_n$, полученный увеличением каждого элемента исходного ряда на константу $c$, то есть $y_i = x_i + c$. Сначала найдем среднее арифметическое нового ряда $\bar{y}$: $\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i + c) = \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_i + nc) = (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i) + c = \bar{x} + c$. Теперь вычислим дисперсию нового ряда $D_y$: $D_y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2$. Подставим в эту формулу выражения для $y_i$ и $\bar{y}$: $D_y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}((x_i + c) - (\bar{x} + c))^2$. Упростим выражение под знаком квадрата: $(x_i + c) - (\bar{x} + c) = x_i - \bar{x}$. Таким образом, формула для дисперсии нового ряда принимает вид $D_y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$, что в точности совпадает с формулой для дисперсии исходного ряда $D_x$. Следовательно, $D_y = D_x$.
Ответ: Если каждое число ряда данных увеличить на одно и то же число, то дисперсия не изменится.

460 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Дан ряд чисел: $x_1$; $x_2$; ...; $x_n$, среднее арифметическое которого равно $a$. Каждое число ряда увеличили в 10 раз. Как изменится его среднее арифметическое? Что произойдёт с размахом? дисперсией? стандартным отклонением?

2) Сформулируйте полученный результат в общем виде: «Если каждое число ряда умножить на одно и то же число $k$, то...».

3) Ответьте на вопрос следующей задачи, используя утверждения из пункта 2: Ребятам было поручено провести статистическое исследование роста одноклассников. Коля записал рост ребят в сантиметрах: 162; 181; 179; ..., а Оля — в метрах: 1,62; 1,81; 1,79; .... Затем они подсчитали средний рост, дисперсию и стандартное отклонение. Коля получил соответственно 172, 81 и 9. Какие результаты получила Оля?

1) Пусть исходный ряд чисел $x_1, x_2, ..., x_n$ имеет среднее арифметическое $a$, размах $R$, дисперсию $D$ и стандартное отклонение $\sigma$. После увеличения каждого числа в 10 раз, мы получаем новый ряд $10x_1, 10x_2, ..., 10x_n$.
Новое среднее арифметическое $a_{нов}$ вычисляется как $a_{нов} = \frac{10x_1 + ... + 10x_n}{n} = 10 \cdot \frac{x_1 + ... + x_n}{n} = 10a$. Оно увеличится в 10 раз.
Новый размах $R_{нов}$ (разность между максимальным $10x_{max}$ и минимальным $10x_{min}$ значениями) равен $R_{нов} = 10x_{max} - 10x_{min} = 10(x_{max} - x_{min}) = 10R$. Он увеличится в 10 раз.
Новая дисперсия $D_{нов}$ (средний квадрат отклонений от нового среднего $10a$) равна $D_{нов} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (10x_i - 10a)^2}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} 100(x_i - a)^2}{n} = 100 \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - a)^2}{n} = 100D$. Она увеличится в $10^2 = 100$ раз.
Новое стандартное отклонение $\sigma_{нов}$ (корень из новой дисперсии) равно $\sigma_{нов} = \sqrt{D_{нов}} = \sqrt{100D} = 10\sqrt{D} = 10\sigma$. Оно увеличится в 10 раз.

Ответ: Среднее арифметическое, размах и стандартное отклонение увеличатся в 10 раз, а дисперсия увеличится в 100 раз.

2) Если каждое число ряда умножить на одно и то же число $k$, то статистические характеристики ряда изменятся следующим образом:
- Среднее арифметическое умножится на $k$.
- Размах умножится на $|k|$.
- Дисперсия умножится на $k^2$.
- Стандартное отклонение умножится на $|k|$.

Ответ: Если каждое число ряда умножить на одно и то же число $k$, то его среднее арифметическое умножится на $k$, размах и стандартное отклонение умножатся на $|k|$, а дисперсия умножится на $k^2$.

3) Для решения этой задачи воспользуемся утверждениями из пункта 2. Коля измерял рост в сантиметрах, а Оля — в метрах. Так как 1 м = 100 см, то каждое число в ряду данных Оли равно соответствующему числу из ряда Коли, умноженному на коэффициент $k = \frac{1}{100} = 0.01$.
У Коли получились следующие результаты:
- Средний рост (среднее арифметическое): $\bar{x}_{Коля} = 172$ см
- Дисперсия: $D_{Коля} = 81$ см$^2$
- Стандартное отклонение: $\sigma_{Коля} = 9$ см
Теперь найдем результаты Оли, применив правила из пункта 2 с коэффициентом $k = 0.01$:
- Средний рост у Оли: $\bar{x}_{Оля} = k \cdot \bar{x}_{Коля} = 0.01 \cdot 172 = 1.72$ м.
- Дисперсия у Оли: $D_{Оля} = k^2 \cdot D_{Коля} = (0.01)^2 \cdot 81 = 0.0001 \cdot 81 = 0.0081$ м$^2$.
- Стандартное отклонение у Оли: $\sigma_{Оля} = |k| \cdot \sigma_{Коля} = |0.01| \cdot 9 = 0.09$ м.

Ответ: Оля получила следующие результаты: средний рост — 1,72; дисперсия — 0,0081; стандартное отклонение — 0,09.