Номер 457, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.3 Характеристики разброса. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 457, страница 179.

457 МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС Спортивные аналитики оценивают футбольные команды по некоторому набору параметров, например по количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т.п. Чем меньше у команды стандартное отклонение по каждому параметру, тем более сбалансированной является команда. Чем больше стандартное отклонение, тем менее она сбалансирована, например, у команды сильное нападение, но слабая защита. Найдите в СМИ необходимую информацию и проанализируйте сбалансированность команд, занявших на последнем чемпионате России по футболу первые три места. (Аналогичное задание можно выполнить и для других видов спорта: баскетбола, хоккея и пр.) Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет оценить сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемые способы борьбы.

Для анализа сбалансированности команд, занявших первые три места на последнем завершенном чемпионате России по футболу (сезон 2022/2023), мы будем использовать статистические данные по двум ключевым параметрам: количество забитых голов (ЗГ) и количество пропущенных голов (ПГ) за сезон. Сбалансированность команды мы оценим с помощью среднеквадратического (стандартного) отклонения. Чем меньше это значение, тем более сбалансированной является игра команды в атаке и обороне.

Формула для расчета среднеквадратического отклонения ($σ$) для набора данных из двух значений ($x_1$ и $x_2$):

$σ = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2}{2}}$

где $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2}{2}$ — среднее арифметическое значение.

По итогам сезона 2022/2023 Российской Премьер-Лиги, первые три места заняли: «Зенит», «ЦСКА» и «Спартак».

---

1. «Зенит» (Санкт-Петербург) – 1-е место

Статистические показатели команды за сезон:

• Забитые голы (ЗГ): $x_1 = 74$
• Пропущенные голы (ПГ): $x_2 = 20$

Сначала найдем среднее арифметическое этих двух параметров:

$\bar{x} = \frac{74 + 20}{2} = \frac{94}{2} = 47$

Теперь рассчитаем среднеквадратическое отклонение:

$σ_{Зенит} = \sqrt{\frac{(74 - 47)^2 + (20 - 47)^2}{2}} = \sqrt{\frac{27^2 + (-27)^2}{2}} = \sqrt{\frac{729 + 729}{2}} = \sqrt{\frac{1458}{2}} = \sqrt{729} = 27$

Ответ: Среднеквадратическое отклонение для «Зенита» составляет 27.

---

2. «ЦСКА» (Москва) – 2-е место

Статистические показатели команды за сезон:

• Забитые голы (ЗГ): $x_1 = 56$
• Пропущенные голы (ПГ): $x_2 = 27$

Найдем среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{56 + 27}{2} = \frac{83}{2} = 41.5$

Рассчитаем среднеквадратическое отклонение:

$σ_{ЦСКА} = \sqrt{\frac{(56 - 41.5)^2 + (27 - 41.5)^2}{2}} = \sqrt{\frac{14.5^2 + (-14.5)^2}{2}} = \sqrt{\frac{210.25 + 210.25}{2}} = \sqrt{\frac{420.5}{2}} = \sqrt{210.25} = 14.5$

Ответ: Среднеквадратическое отклонение для «ЦСКА» составляет 14.5.

---

3. «Спартак» (Москва) – 3-е место

Статистические показатели команды за сезон:

• Забитые голы (ЗГ): $x_1 = 60$
• Пропущенные голы (ПГ): $x_2 = 38$

Найдем среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{60 + 38}{2} = \frac{98}{2} = 49$

Рассчитаем среднеквадратическое отклонение:

$σ_{Спартак} = \sqrt{\frac{(60 - 49)^2 + (38 - 49)^2}{2}} = \sqrt{\frac{11^2 + (-11)^2}{2}} = \sqrt{\frac{121 + 121}{2}} = \sqrt{\frac{242}{2}} = \sqrt{121} = 11$

Ответ: Среднеквадратическое отклонение для «Спартака» составляет 11.

---

Анализ и выводы

Сравнив полученные значения среднеквадратического отклонения для трех команд, мы можем сделать выводы об их сбалансированности:

• «Спартак»: $σ = 11$
• «ЦСКА»: $σ = 14.5$
• «Зенит»: $σ = 27$

Согласно условию, чем меньше стандартное отклонение, тем более сбалансированной является команда. Таким образом, рейтинг команд по сбалансированности (от наиболее к наименее сбалансированной) выглядит следующим образом: «Спартак», «ЦСКА», «Зенит».

Это означает, что у «Спартака» показатели атаки (60 голов) и защиты (38 голов) наиболее близки друг к другу, что говорит о равномерном уровне игры в обеих линиях. «Зенит», несмотря на чемпионство, демонстрирует наибольший дисбаланс по данной методике. Это не означает слабую защиту, наоборот, команда обладает и самой сильной атакой (74 гола), и самой надежной обороной (20 голов). Однако огромная разница между этими двумя показателями дает высокое значение стандартного отклонения, характеризуя «Зенит» как команду с чрезвычайно доминирующей атакой по сравнению с ее же (очень сильной) обороной.

Ответ: Наиболее сбалансированной командой из тройки лидеров является «Спартак» ($σ = 11$), за ним следует «ЦСКА» ($σ = 14.5$), а наименее сбалансированным по соотношению забитых и пропущенных мячей является чемпион «Зенит» ($σ = 27$).