Номер 454, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.3 Характеристики разброса. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 454, страница 178.

454 МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС

Найдите размах и стандартное отклонение своих отметок по алгебре за год. Проанализируйте полученный результат.

Поскольку реальные отметки по алгебре за год неизвестны, для решения задачи воспользуемся гипотетическим набором отметок. Предположим, что в течение учебного года ученик получил следующие 15 отметок (в 5-балльной системе):

{5, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 5, 4, 5}

Размах

Размах ряда данных — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду.

1. Находим наибольшую отметку в наборе: $x_{max} = 5$.

2. Находим наименьшую отметку в наборе: $x_{min} = 3$.

3. Вычисляем размах (R) как разность между ними:

$R = x_{max} - x_{min} = 5 - 3 = 2$

Ответ: Размах отметок равен 2.

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение (или среднеквадратическое отклонение, $\sigma$) — это показатель, который характеризует разброс данных относительно их среднего значения. Чтобы его найти, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти среднее арифметическое ($\bar{x}$) всех отметок. В нашем наборе 7 пятёрок, 6 четвёрок и 2 тройки. Всего $n=15$ отметок.

$\bar{x} = \frac{7 \cdot 5 + 6 \cdot 4 + 2 \cdot 3}{15} = \frac{35 + 24 + 6}{15} = \frac{65}{15} = \frac{13}{3} \approx 4.33$

2. Найти дисперсию ($\sigma^2$), то есть среднее значение квадратов отклонений каждой отметки от среднего арифметического.

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{7 \cdot (5 - \frac{13}{3})^2 + 6 \cdot (4 - \frac{13}{3})^2 + 2 \cdot (3 - \frac{13}{3})^2}{15}$

$\sigma^2 = \frac{7 \cdot (\frac{2}{3})^2 + 6 \cdot (-\frac{1}{3})^2 + 2 \cdot (-\frac{4}{3})^2}{15} = \frac{7 \cdot \frac{4}{9} + 6 \cdot \frac{1}{9} + 2 \cdot \frac{16}{9}}{15} = \frac{\frac{28+6+32}{9}}{15} = \frac{66/9}{15} = \frac{22/3}{15} = \frac{22}{45} \approx 0.49$

3. Найти стандартное отклонение, извлекая квадратный корень из дисперсии.

$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{22}{45}} \approx 0.70$

Ответ: Стандартное отклонение отметок составляет примерно 0.70.

Анализ полученного результата

Проанализируем полученные значения в совокупности. Средняя отметка за год ($\approx 4.33$) свидетельствует о хорошей успеваемости, выше оценки «хорошо».

Размах, равный 2, показывает, что оценки не были полярными — не было как «двоек», так и резкого преобладания одного типа оценок над другим. Это указывает на определенную стабильность.

Низкое значение стандартного отклонения ($\sigma \approx 0.70$) является ключевым показателем. Оно говорит о том, что большинство отметок очень плотно сгруппированы вокруг среднего значения. Иными словами, успеваемость была очень ровной и стабильной в течение всего года, без значительных провалов или всплесков. Это говорит о систематической подготовке и уверенных знаниях по предмету.

Ответ: Полученные статистические показатели свидетельствуют о хорошей и очень стабильной успеваемости по алгебре в течение года.