Номер 452, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.3 Характеристики разброса. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 452, страница 178.

452 На стройку с кирпичного завода привезли 20 упаковок кирпича. Чтобы проверить качество партии, из каждой упаковки вытащили случайным образом по кирпичу и замерили длину каждого. Ниже представлены полученные величины (в см):

25,5; 25,1; 26,3; 25,3; 24,8; 24,2; 25,1; 24,6; 25,2; 25; 25,5; 24,7; 24,9; 25,5; 24,6; 25,1; 24,4; 24,8; 24,1; 25,3.

а) Определите среднюю длину кирпича.

б) Найдите величину стандартного отклонения длины кирпича от средней.

в) Каков процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на 0,2 см? больше чем на величину стандартного отклонения?

а) Определите среднюю длину кирпича.

Для определения средней длины кирпича (среднего арифметического) необходимо сложить все представленные величины и разделить полученную сумму на количество измерений. В данном случае количество измерений $n = 20$.

Сначала найдем сумму всех длин:
$\sum x_i = 25,5 + 25,1 + 26,3 + 25,3 + 24,8 + 24,2 + 25,1 + 24,6 + 25,2 + 25 + 25,5 + 24,7 + 24,9 + 25,5 + 24,6 + 25,1 + 24,4 + 24,8 + 24,1 + 25,3 = 500$ см.

Средняя длина $\bar{x}$ вычисляется по формуле:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{500}{20} = 25$ см.

Ответ: Средняя длина кирпича составляет 25 см.

б) Найдите величину стандартного отклонения длины кирпича от средней.

Стандартное отклонение $\sigma$ является мерой разброса данных относительно среднего значения. Оно вычисляется как квадратный корень из дисперсии ($\sigma^2$), которая представляет собой средний квадрат отклонений от среднего значения.
Формула стандартного отклонения:
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$

Используя среднюю длину $\bar{x} = 25$ см, найденную в предыдущем пункте, вычислим сумму квадратов отклонений:
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = (25,5-25)^2 + (25,1-25)^2 + (26,3-25)^2 + (25,3-25)^2 + (24,8-25)^2 + (24,2-25)^2 + (25,1-25)^2 + (24,6-25)^2 + (25,2-25)^2 + (25-25)^2 + (25,5-25)^2 + (24,7-25)^2 + (24,9-25)^2 + (25,5-25)^2 + (24,6-25)^2 + (25,1-25)^2 + (24,4-25)^2 + (24,8-25)^2 + (24,1-25)^2 + (25,3-25)^2$
$= 0,5^2 + 0,1^2 + 1,3^2 + 0,3^2 + (-0,2)^2 + (-0,8)^2 + 0,1^2 + (-0,4)^2 + 0,2^2 + 0^2 + 0,5^2 + (-0,3)^2 + (-0,1)^2 + 0,5^2 + (-0,4)^2 + 0,1^2 + (-0,6)^2 + (-0,2)^2 + (-0,9)^2 + 0,3^2$
$= 0,25 + 0,01 + 1,69 + 0,09 + 0,04 + 0,64 + 0,01 + 0,16 + 0,04 + 0 + 0,25 + 0,09 + 0,01 + 0,25 + 0,16 + 0,01 + 0,36 + 0,04 + 0,81 + 0,09 = 5$

Теперь вычислим дисперсию:
$\sigma^2 = \frac{5}{20} = 0,25$
И стандартное отклонение:
$\sigma = \sqrt{0,25} = 0,5$ см.

Ответ: Величина стандартного отклонения составляет 0,5 см.

в) Каков процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на 0,2 см? больше чем на величину стандартного отклонения?

Средняя длина кирпича $\bar{x} = 25$ см, а стандартное отклонение $\sigma = 0,5$ см.

1. Найдем процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на 0,2 см.
Это условие можно записать как $|x_i - 25| > 0,2$, что эквивалентно $x_i > 25,2$ или $x_i < 24,8$.
Перечислим кирпичи из выборки, удовлетворяющие этому условию: 25,5; 26,3; 25,3; 24,2; 24,6; 25,5; 24,7; 25,5; 24,6; 24,4; 24,1; 25,3.
Всего таких кирпичей 12.
Процент от общего числа (20) составляет: $\frac{12}{20} \times 100\% = 60\%$.

2. Найдем процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на величину стандартного отклонения (то есть больше чем на 0,5 см).
Это условие можно записать как $|x_i - 25| > 0,5$, что эквивалентно $x_i > 25,5$ или $x_i < 24,5$.
Перечислим кирпичи из выборки, удовлетворяющие этому условию: 26,3; 24,2; 24,4; 24,1.
Всего таких кирпичей 4.
Процент от общего числа (20) составляет: $\frac{4}{20} \times 100\% = 20\%$.

Ответ: 60% кирпичей имеют длину, отличающуюся от средней более чем на 0,2 см; 20% кирпичей имеют длину, отличающуюся от средней более чем на величину стандартного отклонения.