Страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

451 В таблице указано число книг, прочитанных несколькими ребятами за летние каникулы. Для данного ряда вычислите среднее арифметическое и стандартное отклонение. Назовите имена тех ребят, для которых модуль разности между количеством прочитанных ими книг и средним арифметическим превышает стандартное отклонение.

Вычислим среднее арифметическое и стандартное отклонение

Исходный ряд данных о количестве прочитанных книг: 8, 10, 6, 1, 0, 7, 5, 3. Всего в ряду $n=8$ значений.

1. Среднее арифметическое $(\bar{x})$ вычисляется как сумма всех значений, деленная на их количество. Найдем сумму всех значений: $S = 8 + 10 + 6 + 1 + 0 + 7 + 5 + 3 = 40$. Вычислим среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{S}{n} = \frac{40}{8} = 5$.

2. Стандартное отклонение $(\sigma)$ является мерой разброса данных и вычисляется по формуле $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$. Сначала найдем сумму квадратов отклонений каждого значения от среднего арифметического $(\bar{x}=5)$: $\sum(x_i - \bar{x})^2 = (8-5)^2 + (10-5)^2 + (6-5)^2 + (1-5)^2 + (0-5)^2 + (7-5)^2 + (5-5)^2 + (3-5)^2 = 3^2 + 5^2 + 1^2 + (-4)^2 + (-5)^2 + 2^2 + 0^2 + (-2)^2 = 9 + 25 + 1 + 16 + 25 + 4 + 0 + 4 = 84$.

Далее вычислим дисперсию (средний квадрат отклонений): $\sigma^2 = \frac{84}{8} = 10.5$. Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma = \sqrt{10.5} \approx 3.24$.

Ответ: Среднее арифметическое равно 5, стандартное отклонение равно $\sqrt{10.5}$.

Назовем имена ребят, для которых модуль разности между количеством прочитанных ими книг и средним арифметическим превышает стандартное отклонение

Необходимо проверить для каждого ребенка выполнение условия $|x_i - \bar{x}| > \sigma$, где $x_i$ — количество прочитанных книг, $\bar{x} = 5$ и $\sigma = \sqrt{10.5}$.

Аня: $|8 - 5| = 3$. Так как $3 < \sqrt{10.5}$ (поскольку $9 < 10.5$), условие не выполняется. Витя: $|10 - 5| = 5$. Так как $5 > \sqrt{10.5}$ (поскольку $25 > 10.5$), условие выполняется. Игорь: $|6 - 5| = 1$. Так как $1 < \sqrt{10.5}$, условие не выполняется. Оля: $|1 - 5| = 4$. Так как $4 > \sqrt{10.5}$ (поскольку $16 > 10.5$), условие выполняется. Петя: $|0 - 5| = 5$. Так как $5 > \sqrt{10.5}$ (поскольку $25 > 10.5$), условие выполняется. Катя: $|7 - 5| = 2$. Так как $2 < \sqrt{10.5}$ (поскольку $4 < 10.5$), условие не выполняется. Лена: $|5 - 5| = 0$. Так как $0 < \sqrt{10.5}$, условие не выполняется. Саша: $|3 - 5| = 2$. Так как $2 < \sqrt{10.5}$ (поскольку $4 < 10.5$), условие не выполняется.

Таким образом, ребята, для которых модуль разности превышает стандартное отклонение, — это Витя, Оля и Петя.

Ответ: Витя, Оля, Петя.

452 На стройку с кирпичного завода привезли 20 упаковок кирпича. Чтобы проверить качество партии, из каждой упаковки вытащили случайным образом по кирпичу и замерили длину каждого. Ниже представлены полученные величины (в см):

25,5; 25,1; 26,3; 25,3; 24,8; 24,2; 25,1; 24,6; 25,2; 25; 25,5; 24,7; 24,9; 25,5; 24,6; 25,1; 24,4; 24,8; 24,1; 25,3.

а) Определите среднюю длину кирпича.

б) Найдите величину стандартного отклонения длины кирпича от средней.

в) Каков процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на 0,2 см? больше чем на величину стандартного отклонения?

а) Определите среднюю длину кирпича.

Для определения средней длины кирпича (среднего арифметического) необходимо сложить все представленные величины и разделить полученную сумму на количество измерений. В данном случае количество измерений $n = 20$.

Сначала найдем сумму всех длин:
$\sum x_i = 25,5 + 25,1 + 26,3 + 25,3 + 24,8 + 24,2 + 25,1 + 24,6 + 25,2 + 25 + 25,5 + 24,7 + 24,9 + 25,5 + 24,6 + 25,1 + 24,4 + 24,8 + 24,1 + 25,3 = 500$ см.

Средняя длина $\bar{x}$ вычисляется по формуле:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{500}{20} = 25$ см.

Ответ: Средняя длина кирпича составляет 25 см.

б) Найдите величину стандартного отклонения длины кирпича от средней.

Стандартное отклонение $\sigma$ является мерой разброса данных относительно среднего значения. Оно вычисляется как квадратный корень из дисперсии ($\sigma^2$), которая представляет собой средний квадрат отклонений от среднего значения.
Формула стандартного отклонения:
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$

Используя среднюю длину $\bar{x} = 25$ см, найденную в предыдущем пункте, вычислим сумму квадратов отклонений:
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = (25,5-25)^2 + (25,1-25)^2 + (26,3-25)^2 + (25,3-25)^2 + (24,8-25)^2 + (24,2-25)^2 + (25,1-25)^2 + (24,6-25)^2 + (25,2-25)^2 + (25-25)^2 + (25,5-25)^2 + (24,7-25)^2 + (24,9-25)^2 + (25,5-25)^2 + (24,6-25)^2 + (25,1-25)^2 + (24,4-25)^2 + (24,8-25)^2 + (24,1-25)^2 + (25,3-25)^2$
$= 0,5^2 + 0,1^2 + 1,3^2 + 0,3^2 + (-0,2)^2 + (-0,8)^2 + 0,1^2 + (-0,4)^2 + 0,2^2 + 0^2 + 0,5^2 + (-0,3)^2 + (-0,1)^2 + 0,5^2 + (-0,4)^2 + 0,1^2 + (-0,6)^2 + (-0,2)^2 + (-0,9)^2 + 0,3^2$
$= 0,25 + 0,01 + 1,69 + 0,09 + 0,04 + 0,64 + 0,01 + 0,16 + 0,04 + 0 + 0,25 + 0,09 + 0,01 + 0,25 + 0,16 + 0,01 + 0,36 + 0,04 + 0,81 + 0,09 = 5$

Теперь вычислим дисперсию:
$\sigma^2 = \frac{5}{20} = 0,25$
И стандартное отклонение:
$\sigma = \sqrt{0,25} = 0,5$ см.

Ответ: Величина стандартного отклонения составляет 0,5 см.

в) Каков процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на 0,2 см? больше чем на величину стандартного отклонения?

Средняя длина кирпича $\bar{x} = 25$ см, а стандартное отклонение $\sigma = 0,5$ см.

1. Найдем процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на 0,2 см.
Это условие можно записать как $|x_i - 25| > 0,2$, что эквивалентно $x_i > 25,2$ или $x_i < 24,8$.
Перечислим кирпичи из выборки, удовлетворяющие этому условию: 25,5; 26,3; 25,3; 24,2; 24,6; 25,5; 24,7; 25,5; 24,6; 24,4; 24,1; 25,3.
Всего таких кирпичей 12.
Процент от общего числа (20) составляет: $\frac{12}{20} \times 100\% = 60\%$.

2. Найдем процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на величину стандартного отклонения (то есть больше чем на 0,5 см).
Это условие можно записать как $|x_i - 25| > 0,5$, что эквивалентно $x_i > 25,5$ или $x_i < 24,5$.
Перечислим кирпичи из выборки, удовлетворяющие этому условию: 26,3; 24,2; 24,4; 24,1.
Всего таких кирпичей 4.
Процент от общего числа (20) составляет: $\frac{4}{20} \times 100\% = 20\%$.

Ответ: 60% кирпичей имеют длину, отличающуюся от средней более чем на 0,2 см; 20% кирпичей имеют длину, отличающуюся от средней более чем на величину стандартного отклонения.

453 Пациенты Иванов и Петров замеряли артериальное давление в течение недели. На графиках (рис. 5.11) представлены результаты измерений. У кого из пациентов есть проблемы с артериальным давлением? По каким статистическим показателям вы сделали этот вывод?

У кого из пациентов есть проблемы с артериальным давлением?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать данные, представленные на графиках. Проблемы с артериальным давлением есть у пациента Иванова.

Визуальный анализ графика Иванова (синяя линия) показывает очень резкие и значительные колебания давления в течение недели. У него наблюдаются как нормальные показатели (120, 121, 130, 134), так и очень высокие, опасные для здоровья значения (162, 195, 220 мм рт. ст.).

В то же время, график Петрова (красная линия) гораздо более стабилен. Все его показатели артериального давления находятся в пределах от 118 до 138 мм рт. ст., что считается нормальным или высоким нормальным давлением, но без критических скачков.

Ответ: Проблемы с артериальным давлением есть у Иванова.

По каким статистическим показателям вы сделали этот вывод?

Вывод сделан на основе анализа и сравнения ключевых статистических показателей, характеризующих ряды данных: размаха, среднего арифметического и анализа максимальных значений.

1. Размах

Размах — это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке. Этот показатель отлично иллюстрирует стабильность или нестабильность давления.

• Ряд данных Иванова: 121, 134, 162, 220, 130, 195, 120.
  Размах для Иванова: $R_{Иванов} = 220 - 120 = 100$ мм рт. ст.
• Ряд данных Петрова: 137, 125, 138, 118, 135, 132 (данные за 7 дней).
  Размах для Петрова: $R_{Петров} = 138 - 118 = 20$ мм рт. ст.

Размах у Иванова в 5 раз больше, чем у Петрова, что говорит о чрезвычайной нестабильности его давления.

2. Среднее арифметическое

Среднее арифметическое значение показывает средний уровень давления за рассматриваемый период.

• Среднее давление Иванова: $\bar{x}_{Иванов} = \frac{121+134+162+220+130+195+120}{7} = \frac{1082}{7} \approx 154,6$ мм рт. ст.
• Среднее давление Петрова (используя все 7 точек на графике, включая неразмеченную, которая примерно равна 128): $\bar{x}_{Петров} \approx \frac{137+125+138+118+128+135+132}{7} = \frac{913}{7} \approx 130,4$ мм рт. ст.

Среднее давление Иванова (~155 мм рт. ст.) соответствует медицинскому диагнозу "гипертония", в то время как среднее давление Петрова (~130 мм рт. ст.) находится в пределах нормы.

3. Максимальные значения

Анализ пиковых значений важен для оценки рисков для здоровья.

• Максимальное давление Иванова: $220$ мм рт. ст. Это значение является критически высоким и свидетельствует о гипертоническом кризе.
• Максимальное давление Петрова: $138$ мм рт. ст. Это значение находится на верхней границе нормы и не представляет такой серьезной угрозы.

Ответ: Вывод сделан на основании таких статистических показателей, как размах, среднее арифметическое и максимальные значения. У Иванова наблюдается значительно больший размах колебаний давления ($100$ против $20$ мм рт. ст.), более высокое среднее значение ($\approx 154,6$ против $\approx 130,4$ мм рт. ст.) и наличие опасных для здоровья пиковых значений (до $220$ мм рт. ст.), что однозначно свидетельствует о наличии у него проблем с артериальным давлением.

Найдите размах и стандартное отклонение своих отметок по алгебре за год. Проанализируйте полученный результат.

Поскольку реальные отметки по алгебре за год неизвестны, для решения задачи воспользуемся гипотетическим набором отметок. Предположим, что в течение учебного года ученик получил следующие 15 отметок (в 5-балльной системе):

{5, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 5, 4, 5}

Размах

Размах ряда данных — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду.

1. Находим наибольшую отметку в наборе: $x_{max} = 5$.

2. Находим наименьшую отметку в наборе: $x_{min} = 3$.

3. Вычисляем размах (R) как разность между ними:

$R = x_{max} - x_{min} = 5 - 3 = 2$

Ответ: Размах отметок равен 2.

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение (или среднеквадратическое отклонение, $\sigma$) — это показатель, который характеризует разброс данных относительно их среднего значения. Чтобы его найти, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти среднее арифметическое ($\bar{x}$) всех отметок. В нашем наборе 7 пятёрок, 6 четвёрок и 2 тройки. Всего $n=15$ отметок.

$\bar{x} = \frac{7 \cdot 5 + 6 \cdot 4 + 2 \cdot 3}{15} = \frac{35 + 24 + 6}{15} = \frac{65}{15} = \frac{13}{3} \approx 4.33$

2. Найти дисперсию ($\sigma^2$), то есть среднее значение квадратов отклонений каждой отметки от среднего арифметического.

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{7 \cdot (5 - \frac{13}{3})^2 + 6 \cdot (4 - \frac{13}{3})^2 + 2 \cdot (3 - \frac{13}{3})^2}{15}$

$\sigma^2 = \frac{7 \cdot (\frac{2}{3})^2 + 6 \cdot (-\frac{1}{3})^2 + 2 \cdot (-\frac{4}{3})^2}{15} = \frac{7 \cdot \frac{4}{9} + 6 \cdot \frac{1}{9} + 2 \cdot \frac{16}{9}}{15} = \frac{\frac{28+6+32}{9}}{15} = \frac{66/9}{15} = \frac{22/3}{15} = \frac{22}{45} \approx 0.49$

3. Найти стандартное отклонение, извлекая квадратный корень из дисперсии.

$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{22}{45}} \approx 0.70$

Ответ: Стандартное отклонение отметок составляет примерно 0.70.

Анализ полученного результата

Проанализируем полученные значения в совокупности. Средняя отметка за год ($\approx 4.33$) свидетельствует о хорошей успеваемости, выше оценки «хорошо».

Размах, равный 2, показывает, что оценки не были полярными — не было как «двоек», так и резкого преобладания одного типа оценок над другим. Это указывает на определенную стабильность.

Низкое значение стандартного отклонения ($\sigma \approx 0.70$) является ключевым показателем. Оно говорит о том, что большинство отметок очень плотно сгруппированы вокруг среднего значения. Иными словами, успеваемость была очень ровной и стабильной в течение всего года, без значительных провалов или всплесков. Это говорит о систематической подготовке и уверенных знаниях по предмету.

Ответ: Полученные статистические показатели свидетельствуют о хорошей и очень стабильной успеваемости по алгебре в течение года.

455 Для службы в Президентском полку отбирают призывников с ростом не менее 175 см и не более 190 см. Есть две группы призывников, рост которых:

первая группа — 165 см, 170 см, 173 см, 182 см, 195 см;

вторая группа — 166 см, 175 см, 175 см, 176 см, 178 см.

Сколько призывников из каждой группы подходят для службы в Президентском полку? Сравните эти группы, вычислите для каждой стандартное отклонение.

Сколько призывников из каждой группы подходят для службы в Президентском полку?

Для службы в Президентском полку устанавливаются требования к росту призывников: не менее 175 см и не более 190 см. Математически это условие можно записать в виде двойного неравенства: $175 \le \text{рост} \le 190$.

Проанализируем каждую группу на соответствие этому требованию.

Первая группа: 165 см, 170 см, 173 см, 182 см, 195 см.
- 165 см < 175 см (не подходит)
- 170 см < 175 см (не подходит)
- 173 см < 175 см (не подходит)
- 182 см соответствует условию $175 \le 182 \le 190$ (подходит)
- 195 см > 190 см (не подходит)
Таким образом, из первой группы подходит только один призывник.

Вторая группа: 166 см, 175 см, 175 см, 176 см, 178 см.
- 166 см < 175 см (не подходит)
- 175 см соответствует условию $175 \le 175 \le 190$ (подходит)
- 175 см соответствует условию $175 \le 175 \le 190$ (подходит)
- 176 см соответствует условию $175 \le 176 \le 190$ (подходит)
- 178 см соответствует условию $175 \le 178 \le 190$ (подходит)
Таким образом, из второй группы подходят четыре призывника.

Ответ: из первой группы подходит 1 призывник, из второй группы — 4 призывника.

Сравните эти группы, вычислите для каждой стандартное отклонение.

Стандартное отклонение является мерой разброса значений в наборе данных. Оно вычисляется по формуле: $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$, где $n$ — количество элементов в выборке, $x_i$ — каждый элемент выборки, $\bar{x}$ — среднее арифметическое значение выборки.

Расчет для первой группы:
1. Найдем среднее арифметическое роста ($\bar{x}_1$):
$\bar{x}_1 = \frac{165 + 170 + 173 + 182 + 195}{5} = \frac{885}{5} = 177$ см.
2. Вычислим дисперсию (средний квадрат отклонений от среднего, $\sigma_1^2$):
$\sigma_1^2 = \frac{(165-177)^2 + (170-177)^2 + (173-177)^2 + (182-177)^2 + (195-177)^2}{5} = \frac{144 + 49 + 16 + 25 + 324}{5} = \frac{558}{5} = 111.6$
3. Найдем стандартное отклонение ($\sigma_1$):
$\sigma_1 = \sqrt{111.6} \approx 10.56$ см.

Расчет для второй группы:
1. Найдем среднее арифметическое роста ($\bar{x}_2$):
$\bar{x}_2 = \frac{166 + 175 + 175 + 176 + 178}{5} = \frac{870}{5} = 174$ см.
2. Вычислим дисперсию ($\sigma_2^2$):
$\sigma_2^2 = \frac{(166-174)^2 + (175-174)^2 + (175-174)^2 + (176-174)^2 + (178-174)^2}{5} = \frac{64 + 1 + 1 + 4 + 16}{5} = \frac{86}{5} = 17.2$
3. Найдем стандартное отклонение ($\sigma_2$):
$\sigma_2 = \sqrt{17.2} \approx 4.15$ см.

Сравнение групп:
Стандартное отклонение для первой группы ($\sigma_1 \approx 10.56$ см) значительно больше, чем для второй группы ($\sigma_2 \approx 4.15$ см). Это указывает на то, что рост призывников в первой группе имеет большой разброс, в то время как во второй группе рост призывников более однороден и сгруппирован вокруг среднего значения. Хотя средний рост в первой группе (177 см) выше, чем во второй (174 см), вторая группа является более стабильной по этому показателю.

Ответ: стандартное отклонение для первой группы составляет примерно 10.56 см, для второй группы — примерно 4.15 см. Сравнение показывает, что вторая группа более однородна по росту.