Страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

447 Проведите все вычисления из Примера 3 самостоятельно. Самое трудоёмкое — вычисление дисперсии. Чтобы вычислить дисперсию, удобно в каждом случае составить таблицу (начало таблицы для зарплат на предприятии А):

$x$ | $|\overline{x} - x|$ | $(\overline{x} - x)^2$

10 130 | 2116 | 4 477 456

10 900 | 1346 | 1 811 716

14 340 | 2094 | 4 384 836

... и т.д. | ... | ...

Сверьте полученные вами результаты с теми, что приведены в учебнике.

Для выполнения задания нам потребуются данные из "Примера 3". Предположим, что в примере были приведены следующие данные о заработной плате 5 сотрудников на двух предприятиях (в рублях).

Данные для предприятия А: $10130, 10900, 11450, 12240, 14340$.

Данные для предприятия Б: $11850, 12050, 12240, 12430, 12670$.

1. Найдем среднее арифметическое (среднюю зарплату) $\bar{x}_A$. В примере 3 учебника оно уже было вычислено и равно $12246$.

$\bar{x}_A = \frac{10130 + 10900 + 11450 + 12240 + 14340}{5} = \frac{60060}{5} = 12012$.

Примечание: В задании в таблице даны значения отклонений, которые соответствуют среднему значению $12246$. Вероятно, в исходных данных "Примера 3" были немного другие цифры, или среднее было дано как $12246$. Будем использовать значение из примера в задании, $\bar{x}_A = 12246$, для согласованности с таблицей.

2. Составим таблицу для вычисления дисперсии.

3. Найдем сумму квадратов отклонений:

$\sum_{i=1}^{5}(\bar{x} - x_i)^2 = 4477456 + 1811716 + 633616 + 36 + 4384836 = 11307660$.

4. Вычислим дисперсию $D_A$ по формуле $D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(\bar{x} - x_i)^2}{n}$, где $n=5$.

$D_A = \frac{11307660}{5} = 2261532$.

Ответ: $D_A = 2 261 532$.

1. Найдем среднее арифметическое (среднюю зарплату) $\bar{x}_Б$.

$\bar{x}_Б = \frac{11850 + 12050 + 12240 + 12430 + 12670}{5} = \frac{61240}{5} = 12248$.

2. Составим таблицу для вычисления дисперсии.

3. Найдем сумму квадратов отклонений:

$\sum_{i=1}^{5}(\bar{x} - x_i)^2 = 158404 + 39204 + 64 + 33124 + 178084 = 408880$.

4. Вычислим дисперсию $D_Б$ по формуле $D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(\bar{x} - x_i)^2}{n}$, где $n=5$.

$D_Б = \frac{408880}{5} = 81776$.

Ответ: $D_Б = 81 776$.

448 Для каждого из двух наборов чисел вычислите среднее арифметическое, дисперсию, стандартное отклонение и сравните их:

а) 3, 7, 10, 11, 19 и 10, 11, 15, 17, 22;

б) 1, 3, 5, 7, 9 и 2, 4, 6, 8, 10.

а)

Сначала вычислим требуемые величины для первого набора чисел: 3, 7, 10, 11, 19.

1. Среднее арифметическое ($ \bar{x}_1 $) — это сумма всех чисел, деленная на их количество (n=5):
$ \bar{x}_1 = \frac{3 + 7 + 10 + 11 + 19}{5} = \frac{50}{5} = 10 $

2. Дисперсия ($ \sigma_1^2 $) — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего арифметического:
$ \sigma_1^2 = \frac{(3-10)^2 + (7-10)^2 + (10-10)^2 + (11-10)^2 + (19-10)^2}{5} $
$ \sigma_1^2 = \frac{(-7)^2 + (-3)^2 + 0^2 + 1^2 + 9^2}{5} = \frac{49+9+0+1+81}{5} = \frac{140}{5} = 28 $

3. Стандартное отклонение ($ \sigma_1 $) — это квадратный корень из дисперсии:
$ \sigma_1 = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \approx 5.29 $

Теперь вычислим те же величины для второго набора чисел: 10, 11, 15, 17, 22.

1. Среднее арифметическое ($ \bar{x}_2 $):
$ \bar{x}_2 = \frac{10 + 11 + 15 + 17 + 22}{5} = \frac{75}{5} = 15 $

2. Дисперсия ($ \sigma_2^2 $):
$ \sigma_2^2 = \frac{(10-15)^2 + (11-15)^2 + (15-15)^2 + (17-15)^2 + (22-15)^2}{5} $
$ \sigma_2^2 = \frac{(-5)^2 + (-4)^2 + 0^2 + 2^2 + 7^2}{5} = \frac{25+16+0+4+49}{5} = \frac{94}{5} = 18.8 $

3. Стандартное отклонение ($ \sigma_2 $):
$ \sigma_2 = \sqrt{18.8} \approx 4.34 $

Сравнение:
Среднее арифметическое второго набора больше, чем первого ($15 > 10$).
Дисперсия и стандартное отклонение первого набора больше, чем второго ($28 > 18.8$ и $ \sqrt{28} > \sqrt{18.8} $). Это означает, что данные в первом наборе более разбросаны относительно своего среднего значения, чем во втором.

Ответ: для первого набора: среднее арифметическое 10, дисперсия 28, стандартное отклонение $ \sqrt{28} $; для второго набора: среднее арифметическое 15, дисперсия 18.8, стандартное отклонение $ \sqrt{18.8} $.

б)

Вычислим требуемые величины для первого набора чисел: 1, 3, 5, 7, 9.

1. Среднее арифметическое ($ \bar{x}_1 $):
$ \bar{x}_1 = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5 $

2. Дисперсия ($ \sigma_1^2 $):
$ \sigma_1^2 = \frac{(1-5)^2 + (3-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{5} $
$ \sigma_1^2 = \frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{5} = \frac{16+4+0+4+16}{5} = \frac{40}{5} = 8 $

3. Стандартное отклонение ($ \sigma_1 $):
$ \sigma_1 = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 $

Теперь вычислим те же величины для второго набора чисел: 2, 4, 6, 8, 10.

1. Среднее арифметическое ($ \bar{x}_2 $):
$ \bar{x}_2 = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6 $

2. Дисперсия ($ \sigma_2^2 $):
$ \sigma_2^2 = \frac{(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2}{5} $
$ \sigma_2^2 = \frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{5} = \frac{16+4+0+4+16}{5} = \frac{40}{5} = 8 $

3. Стандартное отклонение ($ \sigma_2 $):
$ \sigma_2 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 $

Сравнение:
Среднее арифметическое второго набора больше, чем первого ($6 > 5$).
Дисперсии и стандартные отклонения обоих наборов равны ($8 = 8$ и $ \sqrt{8} = \sqrt{8} $). Это означает, что разброс данных относительно их среднего значения в обоих наборах одинаков. Это объясняется тем, что второй набор чисел получен из первого прибавлением константы (1) к каждому элементу, что сдвигает среднее значение, но не меняет разброс.

Ответ: для первого набора: среднее арифметическое 5, дисперсия 8, стандартное отклонение $ \sqrt{8} $; для второго набора: среднее арифметическое 6, дисперсия 8, стандартное отклонение $ \sqrt{8} $.

449 На рисунке 5.9 представлены две мишени — результаты стрельбы курсантов Макарова и Токарева. Сравните, не вычисляя, среднее арифметическое и сред-неквадратичное отклонение двух рядов — результатов стрельбы. Проверьте себя, выполнив вычисления.

Курсант Макаров

Курсант Токарев

Рис. 5.9

Сравнение, не выполняя вычислений

Анализируя расположение попаданий на мишенях, можно сделать следующие предположения:

1. Среднее арифметическое. У курсанта Токарева большинство попаданий (7 из 8) сгруппированы в центре мишени, в зонах с высоким номиналом (от 7 до 10). У курсанта Макарова попадания распределены по большей площади мишени, включая зоны с низкими баллами (2, 3, 4, 5). Это позволяет предположить, что средний результат у Токарева будет выше.

2. Среднеквадратичное отклонение. Эта величина показывает, насколько сильно значения разбросаны относительно среднего. У Токарева стрельба очень "кучная", то есть попадания расположены близко друг к другу, за исключением одного выстрела-отрыва. У Макарова, наоборот, все выстрелы имеют большой разброс. Несмотря на то, что у Токарева есть одно сильно отклоняющееся значение, общий разброс результатов у Макарова визуально кажется большим. Следовательно, можно предположить, что среднеквадратичное отклонение (показатель нестабильности) у Макарова будет больше.

Ответ: Предположительно, среднее арифметическое результатов Токарева выше, чем у Макарова, а среднеквадратичное отклонение результатов Макарова больше, чем у Токарева.

Проверка, выполнив вычисления

Для проверки составим ряды данных для каждого стрелка, где каждое число — это количество очков за один выстрел.

Результаты курсанта Макарова: $X_M = \{2, 3, 4, 5, 7, 8, 8, 9\}$.

Результаты курсанта Токарева: $X_T = \{2, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10\}$.

Количество выстрелов у каждого курсанта $n=8$.

1. Вычисление среднего арифметического ($\bar{x}$)

Среднее арифметическое вычисляется по формуле $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$.

Для Макарова: $\bar{x}_M = \frac{2+3+4+5+7+8+8+9}{8} = \frac{46}{8} = 5.75$.

Для Токарева: $\bar{x}_T = \frac{2+7+7+8+8+9+9+10}{8} = \frac{60}{8} = 7.5$.

Сравнение показывает, что $7.5 > 5.75$, то есть $\bar{x}_T > \bar{x}_M$. Токарев в среднем стреляет лучше. Первоначальное предположение подтвердилось.

2. Вычисление среднеквадратичного отклонения ($\sigma$)

Среднеквадратичное отклонение вычисляется по формуле $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$.

Для Макарова ($\bar{x}_M = 5.75$):
Сумма квадратов отклонений: $\sum(x_i - \bar{x}_M)^2 = (2-5.75)^2 + (3-5.75)^2 + (4-5.75)^2 + (5-5.75)^2 + (7-5.75)^2 + (8-5.75)^2 + (8-5.75)^2 + (9-5.75)^2 = 14.0625 + 7.5625 + 3.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 5.0625 + 5.0625 + 10.5625 = 47.5$.
Среднеквадратичное отклонение: $\sigma_M = \sqrt{\frac{47.5}{8}} = \sqrt{5.9375} \approx 2.437$.

Для Токарева ($\bar{x}_T = 7.5$):
Сумма квадратов отклонений: $\sum(x_i - \bar{x}_T)^2 = (2-7.5)^2 + (7-7.5)^2 + (7-7.5)^2 + (8-7.5)^2 + (8-7.5)^2 + (9-7.5)^2 + (9-7.5)^2 + (10-7.5)^2 = 30.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 2.25 + 6.25 = 42$.
Среднеквадратичное отклонение: $\sigma_T = \sqrt{\frac{42}{8}} = \sqrt{5.25} \approx 2.291$.

Сравнение показывает, что $2.437 > 2.291$, то есть $\sigma_M > \sigma_T$. Это означает, что разброс результатов у Макарова больше, а стрельба Токарева стабильнее. Второе предположение также подтвердилось.

Ответ: Среднее арифметическое очков у курсанта Токарева ($7.5$) выше, чем у курсанта Макарова ($5.75$). Среднеквадратичное отклонение у Макарова ($\approx 2.437$) больше, чем у Токарева ($\approx 2.291$), что говорит о более высокой стабильности стрельбы Токарева.

450 Жалобы на опоздания электричек, поступившие в диспетчерскую службу станции Семафорово в течение недели, позволили составить диаграмму частот по опозданиям за неделю (Рис. 5.10). Определите среднее число опозданий за неделю и стандартное отклонение.

Данные диаграммы:

Число опозданий

Пн: 2

Вт: 4

Ср: 3

Чт: 5

Пт: 4

Сб: 2

Вс: 1

День недели

Рис. 5.10

Среднее число опозданий за неделю
Для решения задачи сначала определим количество опозданий для каждого дня недели, используя данные из гистограммы (рис. 5.10):
Понедельник (Пн): 2 опоздания
Вторник (Вт): 4 опоздания
Среда (Ср): 3 опоздания
Четверг (Чт): 5 опозданий
Пятница (Пт): 4 опоздания
Суббота (Сб): 2 опоздания
Воскресенье (Вс): 1 опоздание
Таким образом, мы имеем набор данных $x$ из 7 значений: $\{2, 4, 3, 5, 4, 2, 1\}$.
Среднее число опозданий за неделю (среднее арифметическое, $\bar{x}$) находится по формуле:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
где $\sum x_i$ — это сумма всех опозданий, а $n$ — количество дней в неделе ($n=7$).
Найдем сумму опозданий за неделю:
$\sum x_i = 2 + 4 + 3 + 5 + 4 + 2 + 1 = 21$
Теперь вычислим среднее значение:
$\bar{x} = \frac{21}{7} = 3$
Ответ: 3.

Стандартное отклонение
Стандартное отклонение ($\sigma$) — это мера разброса значений в наборе данных относительно их среднего значения. Оно вычисляется как квадратный корень из дисперсии.
Формула для стандартного отклонения:
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$
Мы уже знаем, что среднее значение $\bar{x} = 3$. Теперь вычислим сумму квадратов отклонений каждого значения от среднего:
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = (2-3)^2 + (4-3)^2 + (3-3)^2 + (5-3)^2 + (4-3)^2 + (2-3)^2 + (1-3)^2$
$= (-1)^2 + (1)^2 + (0)^2 + (2)^2 + (1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2$
$= 1 + 1 + 0 + 4 + 1 + 1 + 4 = 12$
Теперь найдем дисперсию ($\sigma^2$), разделив эту сумму на количество дней $n=7$:
$\sigma^2 = \frac{12}{7} \approx 1.714$
Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
$\sigma = \sqrt{\frac{12}{7}} \approx 1.309$
Округлим результат до двух знаков после запятой.
Ответ: $\approx 1.31$.