Страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Выясните, какие комбинации рассматриваются в задаче — размещения или сочетания, и ответьте на вопрос (№ 469–471):

469 a) Сколькими способами можно сшить трёхцветный флаг с тремя горизонтальными полосами, если имеется материал 12 различных цветов?

б) Сколькими способами можно выбрать 3 краски из имеющихся 12 различных красок?

а)

В задаче о флаге важен порядок расположения цветов, так как полосы на флаге (верхняя, средняя и нижняя) различны. Например, флаг с последовательностью цветов "белый-синий-красный" отличается от флага с последовательностью "красный-синий-белый", даже если используется один и тот же набор цветов. Когда порядок элементов важен, мы используем размещения.

Число способов выбрать и расположить 3 цвета из 12 имеющихся вычисляется по формуле для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае $n = 12$ (общее количество цветов) и $k = 3$ (количество полос на флаге).

$A_{12}^3 = \frac{12!}{(12-3)!} = \frac{12!}{9!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$.

Это можно также посчитать по правилу умножения: для первой полосы есть 12 вариантов цвета, для второй остаётся 11 вариантов, а для третьей — 10. Итого: $12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$ способов.

Ответ: 1320 способами.

б)

В задаче о выборе красок нужно просто составить набор из 3 красок. Порядок, в котором мы их выбираем, не имеет значения. Набор красок {красная, желтая, зеленая} — это тот же самый набор, что и {желтая, зеленая, красная}. Когда порядок элементов не важен, мы используем сочетания.

Число способов выбрать 3 краски из 12 вычисляется по формуле для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае $n = 12$ (общее количество красок) и $k = 3$ (количество красок, которые нужно выбрать).

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1320}{6} = 220$.

Ответ: 220 способами.

Выясните, какие комбинации рассматриваются в задаче — размещения или сочетания, и ответьте на вопрос (№ 469–471):

470 а) В команде 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может выбрать четырёх спортсменов, чтобы расставить их по этапам эстафеты $4 \times 100$ м?

б) В команде 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может выбрать четырёх спортсменов, которые побегут стометровку?

а) В данной задаче важен порядок выбора спортсменов, так как каждый из них будет расставлен на определённый этап эстафеты (первый, второй, третий или четвёртый). Если поменять двух спортсменов местами, получится новая комбинация для эстафеты. Следовательно, речь идет о размещениях, где важен порядок элементов в выборке.
Число способов выбрать и расставить 4 спортсменов из 10 вычисляется по формуле для размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае $n = 10$ (общее число спортсменов), а $k = 4$ (число спортсменов в эстафете):
$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$.
Таким образом, существует 5040 способов выбрать и расставить четырёх спортсменов по этапам эстафеты.
Ответ: 5040

б) В этой задаче требуется просто выбрать четырёх спортсменов из десяти, которые примут участие в забеге на 100 метров. Порядок, в котором их выбирают, не имеет значения, так как все они будут выполнять одно и то же действие, и не сказано про распределение по разным дорожкам или забегам. Группа из четырёх спортсменов останется той же самой, независимо от последовательности их выбора. Следовательно, мы имеем дело с сочетаниями.
Число способов выбрать 4 спортсменов из 10 вычисляется по формуле для сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае $n = 10$ и $k = 4$:
$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$.
Таким образом, существует 210 способов выбрать четырёх спортсменов для забега.
Ответ: 210

Выясните, какие комбинации рассматриваются в задаче — размещения или сочетания, и ответьте на вопрос (№ 469–471):

471 a) В шахматном кружке занимаются 15 человек. Сколькими способами тренер может набрать из них команду для игры на первой, второй, третьей, четвёртой, пятой досках в турнире?

б) В шахматном кружке занимаются 15 человек. Сколькими способами тренер может набрать из них команду из 5 человек для игры в турнире?

а) В данной задаче требуется выбрать 5 человек из 15 и назначить каждого на одну из пяти конкретных досок (первую, вторую, третью, четвертую, пятую). Поскольку замена игроков на досках создает новую расстановку, порядок выбора игроков имеет значение. Следовательно, для решения этой задачи необходимо использовать формулу для нахождения числа размещений из $n$ элементов по $k$.

Формула для числа размещений:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число человек $n = 15$, а количество мест в команде (досок) $k = 5$.

Подставим значения в формулу и вычислим количество способов:

$A_{15}^5 = \frac{15!}{(15-5)!} = \frac{15!}{10!} = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 = 360360$

Таким образом, существует 360 360 способов сформировать команду с расстановкой игроков по доскам.

Ответ: 360 360.

б) В этом случае требуется просто выбрать 5 человек из 15 для формирования команды. Конкретные позиции или доски для игроков не указаны, поэтому порядок их выбора не имеет значения. Важен только итоговый состав группы из 5 человек. Для решения такой задачи используется формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$.

Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Здесь также общее число человек $n = 15$ и размер команды $k = 5$.

Подставим значения в формулу и вычислим количество способов:

$C_{15}^5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Сократим дробь для удобства вычислений:

$C_{15}^5 = \frac{15}{5 \cdot 3} \cdot \frac{12}{4} \cdot \frac{14}{2} \cdot 13 \cdot 11 = 1 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 11 = 3003$

Следовательно, существует 3 003 способа набрать команду из 5 человек.

Ответ: 3 003.

Запишите решение задачи, используя обозначения для числа перестановок, размещений и сочетаний; для вычислений воспользуйтесь соответствующими формулами (№ 472–477):

472 МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС Сколькими способами можно зачеркнуть 5 номеров из 36 в карточке «Спортлото: 5 из 36»?

В задаче требуется найти количество способов выбрать 5 номеров из 36. Поскольку порядок, в котором зачеркиваются номера, не важен, мы имеем дело с сочетаниями.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ находится по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество номеров $n = 36$, а количество номеров для выбора $k = 5$.

Подставим значения в формулу:

$C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5! \cdot 31!}$

Теперь распишем факториалы и проведем вычисления:

$C_{36}^5 = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31!}{5! \cdot 31!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Сократим множители в числителе и знаменателе:

• $36$ делится на $4 \cdot 3 = 12$, в результате остается $3$.
• $35$ делится на $5$, в результате остается $7$.
• $32$ делится на $2$, в результате остается $16$.

Таким образом, выражение для вычисления упрощается до:

$C_{36}^5 = 3 \cdot 7 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 16$

Вычислим произведение:

$3 \cdot 7 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 16 = 21 \cdot (34 \cdot 33) \cdot 16 = 21 \cdot 1122 \cdot 16 = 23562 \cdot 16 = 376992$

Следовательно, существует 376 992 способа зачеркнуть 5 номеров из 36.

Ответ: 376 992 способа.

Запишите решение задачи, используя обозначения для числа перестановок, размещений и сочетаний; для вычислений воспользуйтесь соответствующими формулами (№ 472–477):

473 На плоскости отмечено 4 точки. Сколькими способами их можно обозначить буквами латинского алфавита? (Для справки. В латинском алфавите 26 букв.)

В данной задаче нам необходимо найти количество способов, которыми можно обозначить 4 различные точки на плоскости, используя 26 букв латинского алфавита. Каждой точке должна соответствовать уникальная буква.

Поскольку все 4 точки различны, то порядок, в котором мы присваиваем им буквы, имеет значение. Например, если мы выбрали буквы A, B, C, D, то случай, когда первая точка обозначена как A, а вторая как B, отличается от случая, когда первая точка — B, а вторая — A. Это означает, что нам нужно найти число упорядоченных наборов из 4 различных букв, выбранных из 26.

Такие упорядоченные наборы в комбинаторике называются размещениями. Число размещений из $n$ элементов по $k$ обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае, общее количество элементов (букв в алфавите) $n = 26$, а количество элементов, которые мы выбираем (для обозначения точек), $k = 4$.

Подставим эти значения в формулу для вычисления числа размещений:

$A_{26}^4 = \frac{26!}{(26-4)!} = \frac{26!}{22!} = \frac{26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22!}{22!} = 26 \times 25 \times 24 \times 23$

Теперь выполним вычисления:

$26 \times 25 \times 24 \times 23 = 650 \times 552 = 358800$

Таким образом, существует 358 800 способов обозначить 4 точки на плоскости буквами латинского алфавита.

Ответ: 358800

Запишите решение задачи, используя обозначения для числа перестановок, размещений и сочетаний; для вычислений воспользуйтесь соответствующими формулами (№ 472–477):

На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

474.

Для построения одного треугольника необходимо выбрать 3 точки, которые будут его вершинами. По условию задачи, на плоскости дано 10 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Это означает, что любой выбор трех точек из десяти однозначно определяет треугольник.

Поскольку порядок выбора вершин для построения треугольника не важен (треугольник ABC — это тот же самый треугольник, что и BAC, CAB и т.д.), нам необходимо найти количество способов выбрать 3 точки из 10 без учета порядка. Такая задача решается с помощью нахождения числа сочетаний.

Формула для числа сочетаний из n элементов по k имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данной задаче общее количество точек n = 10, а количество точек, необходимых для образования треугольника, k = 3.

Вычислим число сочетаний из 10 по 3:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{ (3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$

Следовательно, можно составить 120 различных треугольников с вершинами в данных точках.

Ответ: 120.

Запишите решение задачи, используя обозначения для числа перестановок, размещений и сочетаний; для вычислений воспользуйтесь соответствующими формулами (№ 472–477);

475 Сколькими способами из 30 учеников математического класса можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде? троих? четверых?

Поскольку при выборе учеников для участия в олимпиаде порядок их выбора не важен, а имеет значение только итоговый состав команды, для решения задачи необходимо использовать формулу для числа сочетаний. Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В данном случае общее число учеников $n = 30$.

двоих
Необходимо выбрать $k=2$ учеников из 30. Рассчитаем число сочетаний:
$C_{30}^2 = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30!}{2! \cdot 28!} = \frac{29 \cdot 30}{2 \cdot 1} = 29 \cdot 15 = 435$.
Ответ: 435.

троих
Необходимо выбрать $k=3$ учеников из 30. Рассчитаем число сочетаний:
$C_{30}^3 = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30!}{3! \cdot 27!} = \frac{28 \cdot 29 \cdot 30}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 28 \cdot 29 \cdot 5 = 4060$.
Ответ: 4060.

четверых
Необходимо выбрать $k=4$ учеников из 30. Рассчитаем число сочетаний:
$C_{30}^4 = \frac{30!}{4!(30-4)!} = \frac{30!}{4! \cdot 26!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{30}{6} \cdot \frac{28}{4} \cdot 29 \cdot 27 = 5 \cdot 7 \cdot 29 \cdot 27 = 27405$.
Ответ: 27405.

Запишите решение задачи, используя обозначения для числа перестановок, размещений и сочетаний; для вычислений воспользуйтесь соответствующими формулами (№ 472–477);

476

Сколькими способами можно выбрать 2 яблока и 3 груши из вазы с фруктами, в которой лежит 7 яблок и 5 груш?

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторное правило произведения, так как выбор яблок и выбор груш являются независимыми событиями. Общее количество способов будет равно произведению количества способов выбрать яблоки на количество способов выбрать груши.

Поскольку порядок, в котором выбираются фрукты, не имеет значения, для нахождения количества способов в каждом случае мы будем использовать формулу для числа сочетаний из n элементов по k: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Количество способов выбрать 2 яблока из 7 имеющихся равно числу сочетаний из 7 по 2:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.

Количество способов выбрать 3 груши из 5 имеющихся равно числу сочетаний из 5 по 3:
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

Теперь, используя правило произведения, найдем общее количество способов выбрать 2 яблока и 3 груши:
$N = C_7^2 \times C_5^3 = 21 \times 10 = 210$.

Ответ: 210.

Запишите решение задачи, используя обозначения для числа перестановок, размещений и сочетаний; для вычислений воспользуйтесь соответствующими формулами (№ 472–477):

477

В футбольной секции 24 человека, среди которых есть вратари Женя и Серёжа. Сколькими способами можно набрать футбольную команду (11 человек) так, чтобы в команду попал только один из этих вратарей?

По условию, в футбольной секции состоит 24 человека. Необходимо сформировать команду из 11 человек, в которую должен войти только один из двух вратарей — Женя или Серёжа.

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторное правило произведения. Весь процесс выбора можно разбить на два независимых шага:

1. Выбор одного из двух вратарей для команды.
2. Выбор оставшихся 10 игроков из числа остальных членов секции.

Шаг 1: Выбор вратаря

Нужно выбрать 1 вратаря из 2 (Женя или Серёжа). Количество способов это сделать — это число сочетаний из 2 элементов по 1, которое обозначается как $C_2^1$.

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

$C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1! \cdot 1!} = 2$ способа.

Шаг 2: Выбор остальных игроков

После того как вратарь выбран, нужно набрать в команду ещё $11 - 1 = 10$ полевых игроков. Этих игроков нужно выбрать из тех членов секции, которые не являются вратарями Женей или Серёжей. Таких людей в секции $24 - 2 = 22$ человека.

Количество способов выбрать 10 игроков из 22 — это число сочетаний из 22 по 10, обозначаемое как $C_{22}^{10}$.

$C_{22}^{10} = \frac{22!}{10!(22-10)!} = \frac{22!}{10!12!}$

Вычислим это значение:

$C_{22}^{10} = \frac{22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Последовательно сокращая множители, получаем:

$C_{22}^{10} = 11 \times 19 \times 17 \times 14 \times 13 = 646646$ способов.

Общее количество способов

Чтобы найти общее количество способов сформировать команду по заданным условиям, нужно перемножить количество способов на каждом шаге:

$N = C_2^1 \times C_{22}^{10} = 2 \times 646646 = 1293292$

Ответ: 1293292

478 Используя формулы для числа размещений и числа перестановок, докажите формулу для нахождения числа сочетаний.

Для доказательства формулы для нахождения числа сочетаний установим связь между тремя основными понятиями комбинаторики: размещениями, перестановками и сочетаниями.

Размещением из $n$ элементов по $k$ ($A_n^k$) называется упорядоченный набор из $k$ элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ различных элементов. Формула для числа размещений:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Перестановкой из $k$ элементов ($P_k$) называется любое упорядоченное расположение этих $k$ элементов. Формула для числа перестановок:

$P_k = k!$

Сочетанием из $n$ элементов по $k$ ($C_n^k$) называется неупорядоченный набор (подмножество) из $k$ элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ различных элементов. Наша цель — доказать формулу для $C_n^k$.

Рассмотрим процесс создания размещения из $n$ по $k$. Его можно представить как выполнение двух последовательных действий:

1. Сначала выбрать $k$ элементов из $n$ без учета их порядка. Число способов сделать это равно по определению числу сочетаний $C_n^k$.
2. Затем упорядочить (выполнить перестановку) эти $k$ выбранных элементов. Число способов сделать это равно числу перестановок $P_k$.

Согласно комбинаторному правилу произведения, общее число размещений $A_n^k$ равно произведению числа способов на каждом шаге:

$A_n^k = C_n^k \cdot P_k$

Из этого равенства мы можем выразить искомое число сочетаний $C_n^k$:

$C_n^k = \frac{A_n^k}{P_k}$

Теперь подставим в это выражение известные формулы для числа размещений $A_n^k$ и числа перестановок $P_k$:

$C_n^k = \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!}$

После упрощения полученной дроби, мы приходим к искомой формуле для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Таким образом, мы доказали формулу для нахождения числа сочетаний, используя формулы для числа размещений и числа перестановок.

Ответ: Формула для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ доказывается через логическую связь между размещениями, сочетаниями и перестановками, которая выражается равенством $A_n^k = C_n^k \cdot P_k$. Выразив из этого равенства $C_n^k = \frac{A_n^k}{P_k}$ и подставив известные формулы для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_k = k!$, мы получаем требуемую формулу.