Страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1 Кубик бросают два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет одинаковое число очков? разное число очков?

одинаковое число очков

При броске стандартного игрального кубика (с 6 гранями) есть 6 возможных исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков.

Так как кубик бросают два раза, и результаты бросков независимы, общее число всех возможных элементарных исходов равно произведению числа исходов для каждого броска.

Общее число исходов $N = 6 \times 6 = 36$.

Событие "оба раза выпадет одинаковое число очков" наступает, когда результаты первого и второго бросков совпадают. Такими благоприятными исходами являются пары: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).

Всего таких благоприятных исходов $m = 6$.

Вероятность события вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(\text{одинаковое число}) = \frac{m}{N} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

разное число очков

Событие "выпадет разное число очков" является противоположным событию "выпадет одинаковое число очков". Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1.

Обозначим вероятность выпадения одинакового числа очков как $P(A)$, а вероятность выпадения разного числа очков как $P(B)$. Тогда $P(A) + P(B) = 1$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что $P(A) = \frac{1}{6}$.

Следовательно, вероятность выпадения разного числа очков равна:

$P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Альтернативный способ: можно напрямую подсчитать количество благоприятных исходов. Если общее число исходов равно 36, а число исходов с одинаковыми очками равно 6, то число исходов с разными очками будет:

$m = 36 - 6 = 30$.

Тогда вероятность этого события:

$P(B) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\frac{5}{6}$.

2 Одновременно бросают 2 кубика: белый и чёрный.

а) Сколько возможных исходов у этого эксперимента?

б) Какова вероятность того, что число, выпавшее на белом кубике, больше числа, выпавшего на чёрном кубике?

в) Какова вероятность того, что число, выпавшее на белом кубике, не превосходит числа, выпавшего на чёрном кубике?

а) Сколько возможных исходов у этого эксперимента?
Каждый игральный кубик имеет 6 граней с числами от 1 до 6. Это означает, что при броске одного кубика существует 6 возможных исходов. В эксперименте одновременно бросают два кубика: белый и чёрный. Поскольку результат броска одного кубика не зависит от результата броска другого, общее количество возможных исходов находится как произведение числа исходов для каждого кубика (согласно правилу умножения в комбинаторике).
Пусть $N_б$ — количество исходов для белого кубика, а $N_ч$ — количество исходов для чёрного кубика. Тогда общее число исходов $N$ равно:
$N = N_б \times N_ч = 6 \times 6 = 36$.
Таким образом, у эксперимента 36 возможных исходов, каждый из которых представляет собой упорядоченную пару чисел (результат белого кубика, результат чёрного кубика).
Ответ: 36

б) Какова вероятность того, что число, выпавшее на белом кубике, больше числа, выпавшего на чёрном кубике?
Вероятность события определяется по классической формуле $P(A) = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.
Из пункта а) мы знаем, что общее число исходов $N = 36$.
Рассмотрим событие A: «число на белом кубике больше числа на чёрном». Обозначим число на белом кубике как Б, а на чёрном — как Ч. Нам нужно найти вероятность события Б > Ч.
Все 36 исходов можно разделить на три непересекающиеся группы:
1. Число на белом кубике больше, чем на чёрном (Б > Ч).
2. Число на чёрном кубике больше, чем на белом (Ч > Б).
3. Числа на кубиках равны (Б = Ч).
Из-за симметрии (кубики стандартные и равновероятные) количество исходов в группе 1 (Б > Ч) равно количеству исходов в группе 2 (Ч > Б).
Найдем количество исходов в группе 3 (Б = Ч). Это пары: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Всего 6 таких исходов.
Число исходов, где значения на кубиках не равны: $36 - 6 = 30$.
Эти 30 исходов поровну распределяются между группами 1 и 2. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m$ для события «Б > Ч» равно: $m = \frac{30}{2} = 15$.
Теперь можем вычислить вероятность:
$P(\text{Б > Ч}) = \frac{m}{N} = \frac{15}{36}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$P(\text{Б > Ч}) = \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{12}$

в) Какова вероятность того, что число, выпавшее на белом кубике, не превосходит числа, выпавшего на чёрном кубике?
Событие B: «число на белом кубике не превосходит числа на чёрном кубике» означает, что число на белом кубике меньше или равно числу на чёрном (Б ≤ Ч).
Это событие является противоположным (дополнительным) событию A из пункта б) «число на белом кубике больше числа на чёрном» (Б > Ч).
Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1. То есть, $P(A) + P(\text{не } A) = 1$.
В нашем случае $P(\text{Б ≤ Ч}) = 1 - P(\text{Б > Ч})$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $P(\text{Б > Ч}) = \frac{5}{12}$.
Следовательно, искомая вероятность равна:
$P(\text{Б ≤ Ч}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$.
Проверка: Событие «Б ≤ Ч» можно разбить на два непересекающихся события: «Б < Ч» и «Б = Ч». Количество исходов для «Б < Ч» равно 15 (по симметрии с «Б > Ч»). Количество исходов для «Б = Ч» равно 6. Общее число благоприятных исходов: $15 + 6 = 21$. Вероятность: $\frac{21}{36} = \frac{7}{12}$. Результат совпадает.
Ответ: $\frac{7}{12}$

Одновременно бросают 3 монеты.

а) Сколько возможных исходов у этого эксперимента?

б) С какой вероятностью все монеты упадут на одну сторону?

в) С какой вероятностью выпадет один или два орла?

а) Сколько возможных исходов у этого эксперимента?

При броске одной монеты есть два возможных исхода: орел (О) или решка (Р). Поскольку бросают три монеты, и результаты бросков независимы друг от друга, общее количество возможных исходов можно найти, используя правило умножения. Для каждой из трех монет есть 2 варианта, поэтому общее число комбинаций равно:
$N = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$

Перечислим все возможные исходы:
1. ООО (три орла)
2. ООР
3. ОРО
4. РОО
5. ОРР
6. РОР
7. РРО
8. РРР (три решки)
Таким образом, всего существует 8 возможных исходов.

Ответ: 8.

б) С какой вероятностью все монеты упадут на одну сторону?

Событие "все монеты упадут на одну сторону" означает, что выпадет либо комбинация "все орлы" (ООО), либо комбинация "все решки" (РРР). Следовательно, количество благоприятных исходов для этого события $m = 2$.

Общее число всех равновозможных исходов $n = 8$, как мы установили в пункте (а). Вероятность события $P$ находится по классической формуле вероятности:
$P = \frac{m}{n}$

Подставляя наши значения, получаем:
$P = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

в) С какой вероятностью выпадет один или два орла?

Событие "выпадет один или два орла" объединяет два случая: "выпал ровно один орел" и "выпало ровно два орла". Найдем количество благоприятных исходов для каждого случая.

1. Случай "выпал ровно один орел". Благоприятные исходы:
ОРР, РОР, РРО.
Всего 3 исхода.

2. Случай "выпало ровно два орла". Благоприятные исходы:
ООР, ОРО, РОО.
Всего 3 исхода.

Общее количество благоприятных исходов $m$ равно сумме исходов в этих двух случаях: $m = 3 + 3 = 6$. Общее число всех возможных исходов $n$ равно 8.

Вероятность этого события равна:
$P = \frac{m}{n} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

4 Из колоды в 36 карт одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что они одного цвета, если выбор осуществляется без возвращения? если выбор осуществляется с возвращением?

В колоде из 36 карт есть две масти красного цвета (червы и бубны) и две масти черного цвета (пики и трефы). Каждая масть содержит 9 карт. Следовательно, в колоде 18 красных и 18 черных карт.

Событие, вероятность которого нам нужно найти, заключается в том, что обе вытянутые карты будут одного цвета. Это означает, что обе карты либо красные, либо черные. Так как эти два исхода (обе красные / обе черные) являются несовместными событиями, общая вероятность будет равна сумме их вероятностей.

...если выбор осуществляется без возвращения?

Рассмотрим вероятность вытягивания двух карт одного цвета последовательно.

1. Вероятность того, что обе карты красные.Вероятность вытянуть первую красную карту составляет $P_1(К) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.После того как первая красная карта была извлечена, в колоде остается 35 карт, из которых 17 красных.Вероятность вытянуть вторую красную карту: $P_2(К) = \frac{17}{35}$.Вероятность того, что обе карты красные: $P(КК) = P_1(К) \cdot P_2(К) = \frac{18}{36} \cdot \frac{17}{35} = \frac{1}{2} \cdot \frac{17}{35} = \frac{17}{70}$.

2. Вероятность того, что обе карты черные.Расчет аналогичен:Вероятность вытянуть первую черную карту: $P_1(Ч) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.После этого в колоде останется 35 карт, из которых 17 черных.Вероятность вытянуть вторую черную карту: $P_2(Ч) = \frac{17}{35}$.Вероятность того, что обе карты черные: $P(ЧЧ) = P_1(Ч) \cdot P_2(Ч) = \frac{18}{36} \cdot \frac{17}{35} = \frac{1}{2} \cdot \frac{17}{35} = \frac{17}{70}$.

3. Общая вероятность.Складываем вероятности этих двух несовместных событий:$P(\text{одного цвета}) = P(КК) + P(ЧЧ) = \frac{17}{70} + \frac{17}{70} = \frac{34}{70} = \frac{17}{35}$.

Ответ: $\frac{17}{35}$.

...если выбор осуществляется с возвращением?

При выборе с возвращением вытянутая карта возвращается в колоду перед следующим выбором. Таким образом, каждый выбор является независимым событием, и состав колоды не меняется.

1. Вероятность того, что обе карты красные.Вероятность вытянуть красную карту при первом извлечении: $P(К) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.Так как карта возвращается, вероятность вытянуть красную карту при втором извлечении также равна $P(К) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.Вероятность того, что обе карты красные: $P(КК) = P(К) \cdot P(К) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

2. Вероятность того, что обе карты черные.Аналогично, вероятность вытянуть черную карту в любом из случаев равна $P(Ч) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.Вероятность того, что обе карты черные: $P(ЧЧ) = P(Ч) \cdot P(Ч) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

3. Общая вероятность.Складываем вероятности:$P(\text{одного цвета}) = P(КК) + P(ЧЧ) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

5 В шкафу находится 3 пары ботинок различных размеров. Из них случайным образом выбирают 2 ботинка. Найдите вероятность того, что они парные.

В шкафу находится 3 пары ботинок, что составляет $3 \times 2 = 6$ отдельных ботинок. Необходимо найти вероятность того, что два случайно выбранных ботинка образуют пару.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число всех возможных элементарных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов $N$. Это количество способов выбрать 2 ботинка из 6 имеющихся. Так как порядок выбора ботинок не важен, используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n=6$ (всего ботинок), а $k=2$ (выбираем ботинка).

$N = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Таким образом, существует 15 различных способов выбрать 2 ботинка из 6.

2. Найдем число благоприятных исходов $M$. Благоприятный исход — это выбор двух ботинок, которые составляют одну пару. По условию, в шкафу находится 3 разные пары ботинок. Следовательно, существует ровно 3 способа выбрать пару (можно выбрать первую пару, или вторую, или третью).

$M = 3$.

3. Теперь можем вычислить искомую вероятность:

$P = \frac{M}{N} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Вероятность можно также выразить в виде десятичной дроби: $\frac{1}{5} = 0.2$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

6 Номер автомашины состоит из трёх цифр (не все из которых — нули). Какова вероятность того, что номер первой встретившейся вам автомашины будет содержать хотя бы одну цифру 3?

Для решения этой задачи по теории вероятностей воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных, несовместных элементарных исходов, а $m$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число возможных исходов ($n$).Номер автомашины состоит из трёх цифр. Каждая цифра может быть любой от 0 до 9. Таким образом, общее количество трёхзначных комбинаций от 000 до 999 равно $10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$.В условии сказано, что "не все из которых — нули". Это означает, что номер "000" не является допустимым. Следовательно, общее число возможных номеров автомашин равно:$n = 1000 - 1 = 999$.

2. Найдем число благоприятствующих исходов ($m$).Благоприятствующим событием является то, что номер содержит хотя бы одну цифру 3. Проще найти число исходов для противоположного события — "номер не содержит ни одной цифры 3", а затем вычесть это число из общего количества исходов.Пусть событие $A$ — "номер содержит хотя бы одну цифру 3".Тогда противоположное событие $\overline{A}$ — "номер не содержит цифру 3".

Найдем количество номеров, которые не содержат цифру 3. Для каждой из трёх позиций в номере мы можем использовать любую из 9 цифр: {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.Число таких комбинаций равно $9 \times 9 \times 9 = 9^3 = 729$.Этот подсчёт включает комбинацию "000", которая не является допустимым номером. Поскольку "000" не содержит цифру 3, мы должны исключить его из нашего подсчета неблагоприятных исходов.Итак, число допустимых номеров, не содержащих цифру 3, равно $729 - 1 = 728$.

Теперь мы можем найти число благоприятствующих исходов ($m$) для события $A$. Это общее число допустимых номеров минус число номеров, не содержащих цифру 3:$m = n - (\text{число номеров без цифры 3}) = 999 - 728 = 271$.

3. Вычислим вероятность.Вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины будет содержать хотя бы одну цифру 3, равна:$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{271}{999}$.Число 271 является простым, а $999 = 9 \times 111 = 3^3 \times 37$. Следовательно, дробь несократима.

Ответ: $\frac{271}{999}$