Страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1 Какие графические иллюстрации используются в статистических исследованиях рядов данных? Как называется графическая интерпретация интервального ряда?

Какие графические иллюстрации используются в статистических исследованиях рядов данных?

В статистических исследованиях для наглядного представления и анализа рядов данных применяют разнообразные графические иллюстрации. Выбор конкретного типа графика зависит от характера данных (качественные, количественные, дискретные, непрерывные) и цели исследования. К наиболее распространенным относятся:

• Столбчатая диаграмма: Используется для сравнения значений дискретных категорий. Представляет собой набор прямоугольников (столбцов), высота которых пропорциональна значению показателя для данной категории. Столбцы обычно разделены промежутками.
• Круговая диаграмма: Показывает долю каждой категории в общей сумме, представляя все данные в виде круга, разделенного на секторы. Площадь каждого сектора пропорциональна доле соответствующей категории. Эффективна, когда количество категорий невелико.
• Полигон частот: График в виде ломаной линии, который строится путем соединения точек. Координаты точек соответствуют значениям признака (для дискретных рядов) или серединам интервалов (для интервальных рядов) и их частотам. Часто используется для сравнения нескольких распределений на одном графике.
• Гистограмма: Специальный вид столбчатой диаграммы для представления непрерывных данных, сгруппированных в интервалы.
• Диаграмма рассеяния (точечная диаграмма): Используется для визуализации связи и корреляции между двумя количественными переменными. Каждое наблюдение отображается точкой на двумерной плоскости.

Ответ: В статистических исследованиях рядов данных используются столбчатые и круговые диаграммы, полигоны частот, гистограммы, диаграммы рассеяния и другие.

Как называется графическая интерпретация интервального ряда?

Графической интерпретацией, или наглядным представлением, интервального вариационного ряда является гистограмма.

Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из примыкающих друг к другу прямоугольников. Основания этих прямоугольников располагаются на горизонтальной оси (оси абсцисс) и равны величине интервалов, на которые разбита вся совокупность данных. Высоты прямоугольников пропорциональны частотам (или относительным частотам) попадания значений в соответствующий интервал. В отличие от обычной столбчатой диаграммы, в гистограмме нет промежутков между прямоугольниками, что подчеркивает непрерывный характер данных.

В случае, когда все интервалы $ \Delta x $ имеют одинаковую ширину, высота $ i $-го прямоугольника пропорциональна частоте $ n_i $ этого интервала. Если же ширины интервалов $ \Delta x_i $ различны, то высота $ i $-го прямоугольника равна плотности частоты, которая вычисляется по формуле: $ h_i = \frac{n_i}{\Delta x_i} $. Это делается для того, чтобы площадь каждого прямоугольника была пропорциональна частоте соответствующего интервала.

Ответ: Гистограмма.

2 Используя диаграмму на рисунке 5.3, выполните задания:

а) постройте по данным диаграммы полигон частот;

б) с помощью полигона определите среднее количество комнат в квартире.

Поскольку диаграмма из рисунка 5.3 не предоставлена, для решения задачи воспользуемся гипотетическими данными, которые могли бы быть на ней изображены. Предположим, что на диаграмме представлены следующие сведения о количестве квартир с разным числом комнат:

• 1-комнатные: 15 квартир
• 2-комнатные: 30 квартир
• 3-комнатные: 25 квартир
• 4-комнатные: 10 квартир
• 5-комнатные: 5 квартир

Сведем эти данные в таблицу частот:

а) постройте по данным диаграммы полигон частот;

Полигон частот — это графическое представление распределения данных в виде ломаной линии. Для его построения на оси абсцисс (горизонтальной оси) откладывают значения признака (количество комнат), а на оси ординат (вертикальной оси) — соответствующие им частоты (количество квартир). Затем точки с соответствующими координатами соединяют отрезками.

На основе наших данных, нужно отметить на координатной плоскости следующие точки:

• (1; 15)
• (2; 30)
• (3; 25)
• (4; 10)
• (5; 5)

Последовательно соединив эти точки отрезками, мы получим полигон частот. Часто для наглядности полигон "замыкают" на ось абсцисс, добавляя точки, соответствующие нулевой частоте, на единицу меньше минимального и на единицу больше максимального значения. В нашем случае это были бы точки (0; 0) и (6; 0).

Ответ: Полигон частот — это ломаная, последовательно соединяющая точки с координатами (1; 15), (2; 30), (3; 25), (4; 10) и (5; 5).

б) с помощью полигона определите среднее количество комнат в квартире.

Среднее количество комнат в квартире — это среднее взвешенное значение, которое рассчитывается по данным, представленным на полигоне (или в таблице частот). Формула для расчета среднего значения ($\bar{x}$) выглядит так:

$\bar{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_n f_n}{f_1 + f_2 + \dots + f_n} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i}$

где $x_i$ — количество комнат, а $f_i$ — соответствующее количество квартир (частота).

1. Найдем сумму произведений количества комнат на их частоту (числитель дроби):

$\sum (x_i \cdot f_i) = (1 \cdot 15) + (2 \cdot 30) + (3 \cdot 25) + (4 \cdot 10) + (5 \cdot 5) = 15 + 60 + 75 + 40 + 25 = 215$

2. Найдем общее количество квартир (знаменатель дроби):

$\sum f_i = 15 + 30 + 25 + 10 + 5 = 85$

3. Вычислим среднее значение:

$\bar{x} = \frac{215}{85} \approx 2.53$

Ответ: Среднее количество комнат в квартире составляет примерно 2,53.

3 Вернитесь к задаче 442 (п. 5.3) и постройте гистограмму частот для 2015 г.

Для построения гистограммы частот для 2015 года необходимо обратиться к данным из задачи 442. Предположим, что в задаче 442 приведены результаты тестирования 200 абитуриентов, сгруппированные в интервалы. На основе этих данных мы сначала составим таблицу частот.

Таблица частот распределения абитуриентов по набранным баллам в 2015 году:

Гистограмма частот — это диаграмма, состоящая из примыкающих друг к другу прямоугольников. Основания прямоугольников расположены на горизонтальной оси, и их длина соответствует длине интервала. Высота каждого прямоугольника равна соответствующей частоте.

Построим гистограмму по следующим шагам:

1. Начертим две перпендикулярные оси: горизонтальную (ось абсцисс) для интервалов баллов и вертикальную (ось ординат) для частот.
2. На горизонтальной оси отметим интервалы. Поскольку все интервалы имеют одинаковую длину (20 баллов), все столбцы гистограммы будут иметь одинаковую ширину.
3. На вертикальной оси выберем масштаб и отметим значения частот. Максимальная частота — 75, поэтому ось можно разметить до 80 с шагом 10.
4. Для каждого интервала строим прямоугольник, высота которого соответствует частоте из таблицы.

Ниже представлена получившаяся гистограмма частот.

Ответ:

Гистограмма частот для 2015 года построена. Она наглядно показывает распределение тестовых баллов среди 200 абитуриентов. Из гистограммы видно, что наибольшее число абитуриентов (75 человек) получили баллы в интервале от 161 до 180. Наименьшее число (10 человек) — в интервале от 101 до 120. Распределение не является симметричным, оно смещено в сторону более высоких баллов.

4 В результате обследования представительной выборки пятиклассников региона оказалось, что 60 % учащихся выполнили проверочную работу на «4» или «5». Сколько таких отметок можно ожидать при выполнении этой работы в регионе, если всего в пятых классах региона обучается 1200 учащихся?

В задаче указано, что была обследована представительная выборка. Это означает, что результаты, полученные для этой выборки, можно распространить на всю совокупность учеников, то есть на всех пятиклассников региона.

Известно, что 60% учащихся из выборки выполнили работу на «4» или «5». Общее число пятиклассников в регионе — 1200. Чтобы найти ожидаемое количество учеников с такими отметками, нужно найти 60% от 1200.

Для этого переведем проценты в десятичную дробь:
$60\% = \frac{60}{100} = 0.6$

Теперь умножим общее количество учащихся на полученную дробь:
$1200 \times 0.6 = 720$

Следовательно, можно ожидать, что 720 учащихся в регионе выполнят работу на отметки «4» или «5».

Ответ: 720 отметок.

5 Из партии телевизоров в 800 штук отдел контроля подверг проверке 100 штук. Оказалось, что 3 телевизора имеют дефекты. Сколько телевизоров с дефектами можно ожидать в этой партии?

Для решения этой задачи используется предположение о том, что выборка из 100 телевизоров является репрезентативной для всей партии. Это означает, что доля (процент) телевизоров с дефектами в выборке примерно такая же, как и во всей партии. Решить задачу можно с помощью пропорции.

1. Определение доли дефектных телевизоров в выборке.

В проверенной выборке из 100 телевизоров было найдено 3 с дефектами. Найдем, какую часть от выборки составляют дефектные телевизоры:
$ \frac{3}{100} $
Это означает, что на каждые 100 телевизоров приходится 3 дефектных, или, другими словами, доля брака составляет 3%.

2. Расчет ожидаемого числа дефектных телевизоров во всей партии.

Пусть $x$ — это ожидаемое количество телевизоров с дефектами во всей партии из 800 штук. Составим пропорцию, приравнивая долю дефектных изделий в выборке и во всей партии:
$ \frac{\text{дефектные в выборке}}{\text{всего в выборке}} = \frac{\text{дефектные в партии}}{\text{всего в партии}} $
$ \frac{3}{100} = \frac{x}{800} $

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$ x = \frac{3 \times 800}{100} $
$ x = \frac{2400}{100} $
$ x = 24 $

Таким образом, можно ожидать, что во всей партии из 800 телевизоров будет 24 телевизора с дефектами.

Ответ: 24.

6 Для приведённого ниже ряда отметок, полученных в течение четверти, вычислите стандартное отклонение.

Отметки: 5, 4, 4, 5, 3, 2, 5, 4, 4, 5.

Для вычисления стандартного отклонения необходимо выполнить несколько шагов.

Исходный ряд отметок: 5, 4, 4, 5, 3, 2, 5, 4, 4, 5.

Количество отметок в ряду $n=10$.

Шаг 1. Найти среднее арифметическое ряда.

Среднее арифметическое $(\bar{x})$ — это сумма всех значений, делённая на их количество.

$\bar{x} = \frac{5+4+4+5+3+2+5+4+4+5}{10} = \frac{41}{10} = 4.1$

Шаг 2. Найти дисперсию ряда.

Дисперсия $(\sigma^2)$ — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений ряда от их среднего арифметического.

Формула дисперсии: $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Вычислим сумму квадратов отклонений для каждой отметки:

• Для отметок "5" (4 штуки): $4 \cdot (5 - 4.1)^2 = 4 \cdot (0.9)^2 = 4 \cdot 0.81 = 3.24$
• Для отметок "4" (4 штуки): $4 \cdot (4 - 4.1)^2 = 4 \cdot (-0.1)^2 = 4 \cdot 0.01 = 0.04$
• Для отметки "3" (1 штука): $1 \cdot (3 - 4.1)^2 = 1 \cdot (-1.1)^2 = 1 \cdot 1.21 = 1.21$
• Для отметки "2" (1 штука): $1 \cdot (2 - 4.1)^2 = 1 \cdot (-2.1)^2 = 1 \cdot 4.41 = 4.41$

Сумма квадратов отклонений равна:

$\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 = 3.24 + 0.04 + 1.21 + 4.41 = 8.9$

Теперь найдем дисперсию, разделив эту сумму на количество отметок $n=10$:

$\sigma^2 = \frac{8.9}{10} = 0.89$

Шаг 3. Найти стандартное отклонение.

Стандартное отклонение $(\sigma)$ — это квадратный корень из дисперсии.

$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{0.89} \approx 0.943398...$

Округлим результат до сотых.

Ответ: $\approx 0.94$