Страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

479 МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС

а) Пять друзей: Коля, Саша, Ваня, Петя и Толя — достали два билета на новый фильм. Кто пойдёт в кино, решили определить с помощью жребия. Какова вероятность того, что это будут Коля и Саша?

б) Кодовый замок имеет 10 кнопок с цифрами от 0 до 9. Он открывается одновременным нажатием трёх определённых кнопок. Какова вероятность того, что человек, не знающий кода, откроет замок с первого раза?

а)

Для решения этой задачи нужно найти общее количество способов выбрать двух друзей из пяти и количество благоприятных исходов.

Общее число исходов — это количество сочетаний из 5 элементов по 2, так как порядок, в котором выбирают друзей, не имеет значения. Это можно рассчитать по формуле числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n=5$ — общее количество друзей, а $k=2$ — количество билетов.

Подставим значения в формулу:

$N = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Таким образом, существует 10 возможных пар друзей, которые могут пойти в кино.

Благоприятным исходом является тот, при котором билеты достанутся Коле и Саше. Такая пара только одна, поэтому число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность $P$ наступления события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$.

б)

Для решения этой задачи нужно определить общее количество возможных комбинаций для открытия замка.

Замок имеет 10 кнопок, а код состоит из одновременного нажатия трёх из них. Поскольку нажатие одновременное, порядок кнопок не важен. Следовательно, мы должны найти общее количество сочетаний из 10 кнопок по 3.

Используем ту же формулу числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n=10$ — общее количество кнопок, а $k=3$ — количество кнопок в коде.

Подставим значения:

$N = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.

Таким образом, существует 120 различных комбинаций из трёх кнопок.

Правильная комбинация только одна, поэтому число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность угадать правильную комбинацию с первой попытки равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных комбинаций:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$.

480 В урне находится 4 синих и 2 красных шара, одинаковые на ощупь. Не глядя из неё вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они синие?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

В урне находится $4$ синих и $2$ красных шара, что в сумме составляет $4 + 2 = 6$ шаров. Необходимо найти вероятность того, что 3 шара, вынутые наугад, окажутся синими.

Сначала найдем общее число всех возможных исходов ($N$). Это количество способов выбрать 3 шара из 6 имеющихся. Так как порядок выбора шаров не важен, используем формулу для числа сочетаний:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число исходов ($N$) при $n=6$ (общее количество шаров) и $k=3$ (количество вынимаемых шаров) равно:$N = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.Таким образом, существует 20 различных комбинаций из 3 шаров, которые можно вынуть из урны.

Теперь найдем число благоприятных исходов ($m$). Благоприятный исход — это выбор 3 синих шаров. В урне имеется 4 синих шара, поэтому нам нужно найти количество способов выбрать 3 шара из этих 4.

Число благоприятных исходов ($m$) при $n=4$ (количество синих шаров) и $k=3$ (количество вынимаемых синих шаров) равно:$m = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$.Следовательно, существует 4 способа выбрать 3 синих шара.

Вероятность того, что все 3 вынутых шара окажутся синими, вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P = \frac{m}{N} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Эту же задачу можно решить, используя теорему умножения вероятностей для зависимых событий. Вероятность того, что первый шар синий, равна $\frac{4}{6}$. Если первый шар синий, то для второго шара вероятность быть синим составит $\frac{3}{5}$ (так как осталось 3 синих шара из 5). Вероятность для третьего синего шара будет $\frac{2}{4}$. Итоговая вероятность:$P = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

481 Девять карточек пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из этих карточек четыре наугад взятых карточки выложили в ряд. Какова вероятность того, что получившееся четырёхзначное число делится на 5?

Для решения задачи используем классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов: $P = \frac{m}{n}$.

Сначала найдем общее число всех возможных исходов, $n$. Мы составляем четырёхзначные числа из 9 различных карточек, выкладывая 4 из них в ряд. Так как порядок карточек важен, количество всех возможных комбинаций является числом размещений из 9 элементов по 4. Оно вычисляется по формуле:

$n = A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$.

Таким образом, всего можно составить 3024 различных четырёхзначных числа.

Далее найдем число благоприятных исходов, $m$. Благоприятным исходом является получение четырёхзначного числа, которое делится на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0 или 5. В нашем наборе карточек (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) есть только цифра 5. Следовательно, для того чтобы число делилось на 5, на последнем (четвёртом) месте обязательно должна стоять карточка с цифрой 5.

Зафиксируем карточку с цифрой 5 на последнем месте. Для этого есть только 1 способ.

Оставшиеся три места в числе нужно заполнить оставшимися $9-1=8$ карточками. Количество способов выбрать 3 карточки из 8 и расставить их по трём позициям также является числом размещений, но уже из 8 по 3:

$m = A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$.

Итак, число благоприятных исходов равно 336.

Теперь можем вычислить искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{336}{3024}$.

Сократим эту дробь. Заметим, что $3024 = 9 \times 336$.

$P = \frac{336}{9 \times 336} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$

482ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

Вы, наверное, удивитесь, что число сочетаний из n по k обозначается так же, как и элемент треугольника Паскаля, расположенный в n-й строке на месте с номером k. Это не случайно, ведь это те же самые числа, они же — биномиальные коэффициенты.

1) Найдите по комбинаторной формуле, связывающей число сочетаний, размещений и перестановок, следующие сочетания: $C_6^1$, $C_6^2$, $C_6^3$, $C_6^4$, $C_6^5$. Сравните их с числами, стоящими в шестой строке треугольника Паскаля.

2) Найдите $C_7^3$, $C_8^4$, $C_{10}^4$ по формуле и сравните с результатом, полученным с помощью треугольника Паскаля.

3) Треугольник Паскаля можно задать так:

$C_n^0 = 1$, $C_n^n = 1$ (это границы треугольника),

$C_{n+1}^m = C_n^{m-1} + C_n^m$ (это позволяет найти число (n+1)-й строки по двум числам n-й строки).

Воспользовавшись формулой, найдите числа, стоящие в 7-й строке треугольника.

4) Докажите формулу из п. 3, воспользовавшись формулой числа сочетаний.

5) Докажите формулу $C_n^m = C_n^{n-m}$. Как расположены числа $C_n^m$ и $C_n^{n-m}$ в треугольнике Паскаля?

№ строки

0         1

1       1  1

2      1 2 1

3     1 3 3 1

4    1 4 6 4 1

5   1 5 10 10 5 1

6  1 6 15 20 15 6 1

.......................................

7 ...

1) Для нахождения значений сочетаний воспользуемся комбинаторной формулой $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

При $n=6$:

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1! \cdot 5!} = \frac{6}{1} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6}{1} = 6$

Шестая строка треугольника Паскаля (нумерация строк с нуля) имеет вид: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Элементы этой строки, начиная со второго (с индексом $k=1$) и до предпоследнего (с индексом $k=5$), полностью совпадают с вычисленными значениями.

Ответ: $C_6^1=6$, $C_6^2=15$, $C_6^3=20$, $C_6^4=15$, $C_6^5=6$. Эти числа соответствуют элементам шестой строки треугольника Паскаля.

2) Найдем значения сочетаний по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$

Для сравнения с треугольником Паскаля, необходимо построить его до 10-й строки. Элемент $C_n^k$ находится в $n$-й строке на $(k+1)$-м месте. Построенные строки треугольника подтверждают вычисленные значения: $C_7^4 = 35$ (пятый элемент седьмой строки), $C_8^4 = 70$ (пятый элемент восьмой строки), $C_{10}^4 = 210$ (пятый элемент десятой строки).

Ответ: $C_7^4=35$, $C_8^4=70$, $C_{10}^4=210$. Результаты, полученные по формуле, совпадают с соответствующими числами в треугольнике Паскаля.

3) Воспользуемся рекуррентной формулой $C_{n+1}^m = C_n^{m-1} + C_n^m$ для нахождения чисел 7-й строки, используя числа 6-й строки ($n=6$).

Шестая строка: $C_6^0=1, C_6^1=6, C_6^2=15, C_6^3=20, C_6^4=15, C_6^5=6, C_6^6=1$.

Вычисляем числа седьмой строки ($n+1=7$):

По определению, $C_7^0=1$ и $C_7^7=1$.

$C_7^1 = C_6^0 + C_6^1 = 1 + 6 = 7$

$C_7^2 = C_6^1 + C_6^2 = 6 + 15 = 21$

$C_7^3 = C_6^2 + C_6^3 = 15 + 20 = 35$

$C_7^4 = C_6^3 + C_6^4 = 20 + 15 = 35$

$C_7^5 = C_6^4 + C_6^5 = 15 + 6 = 21$

$C_7^6 = C_6^5 + C_6^6 = 6 + 1 = 7$

Таким образом, 7-я строка треугольника Паскаля состоит из чисел: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

Ответ: Числа, стоящие в 7-й строке треугольника Паскаля: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

4) Докажем тождество Паскаля $C_{n+1}^m = C_n^{m-1} + C_n^m$, используя формулу для числа сочетаний. Преобразуем правую часть равенства:

$C_n^{m-1} + C_n^m = \frac{n!}{(m-1)!(n-(m-1))!} + \frac{n!}{m!(n-m)!} = \frac{n!}{(m-1)!(n-m+1)!} + \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Приведем дроби к общему знаменателю $m!(n-m+1)!$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $m$, а второй — на $(n-m+1)$:

$= \frac{n! \cdot m}{m \cdot (m-1)!(n-m+1)!} + \frac{n! \cdot (n-m+1)}{m!(n-m+1) \cdot (n-m)!} = \frac{n! \cdot m}{m!(n-m+1)!} + \frac{n! \cdot (n-m+1)}{m!(n-m+1)!}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем и вынесем $n!$ за скобки в числителе:

$= \frac{n!(m + (n-m+1))}{m!(n-m+1)!} = \frac{n!(m + n-m+1)}{m!(n-m+1)!} = \frac{n!(n+1)}{m!(n-m+1)!}$

Так как $n!(n+1) = (n+1)!$, получаем:

$= \frac{(n+1)!}{m!(n-m+1)!}$

Полученное выражение является формулой для $C_{n+1}^m = \frac{(n+1)!}{m!((n+1)-m)!}$. Тождество доказано.

Ответ: Формула доказана путем алгебраических преобразований правой части равенства с использованием определения числа сочетаний.

5) Докажем формулу $C_n^m = C_n^{n-m}$, которую называют свойством симметричности.

Распишем правую часть по определению числа сочетаний:

$C_n^{n-m} = \frac{n!}{(n-m)!(n-(n-m))!} = \frac{n!}{(n-m)!(n-n+m)!} = \frac{n!}{(n-m)!m!}$

Так как в знаменателе порядок множителей не важен ($ab=ba$), мы можем записать его как $m!(n-m)!$.

Тогда $\frac{n!}{(n-m)!m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$, что в точности совпадает с формулой для $C_n^m$. Формула доказана.

Это свойство означает, что каждая строка треугольника Паскаля симметрична относительно своей середины. Число $C_n^m$ является $(m+1)$-м элементом строки $n$ при счете слева направо (начиная с 0-го индекса). Число $C_n^{n-m}$ является $(n-m+1)$-м элементом слева, что соответствует $(m+1)$-му элементу при счете справа налево. Таким образом, числа, равноудаленные от концов строки, равны.

Ответ: Формула $C_n^m = C_n^{n-m}$ доказывается прямым применением определения числа сочетаний. В треугольнике Паскаля числа $C_n^m$ и $C_n^{n-m}$ расположены в одной и той же $n$-й строке симметрично относительно ее центра.